幂零矩阵 - Mathority

在此页面上，您将找到什么是幂零矩阵的解释，以及几个示例，以便您可以理解它并且毫无疑问。此外，您将能够看到幂零矩阵的结构以及这些类型矩阵的所有属性。

什么是幂零矩阵？

幂零矩阵的定义如下：

幂零矩阵是一个方阵，它被提升到一个整数，给出零矩阵。

$N^k =0$

金子

$N$

是幂零矩阵并且

$k$

给出零矩阵的幂的指数。

这个条件并不意味着无论指数如何，幂零矩阵的幂总是为零，而是如果存在至少一个矩阵的幂其结果是全0的矩阵，则该矩阵是幂幂的。

另一方面，幂零矩阵的幂零指数是满足幂零条件的最小数。我们也可以说幂零矩阵的阶数为k ，其中k是其幂零指数。

幂零矩阵的示例

为了完成对幂零矩阵概念的理解，我们将看到此类矩阵的几个示例：

2 × 2 幂零矩阵的示例

以下维度为 2×2 的方阵是幂零的：

该矩阵是幂零的，因为通过对矩阵 A 求平方，我们得到零矩阵：

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 2 &-4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 &-4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bm{0} &\bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} \end{pmatrix}$

因此它是一个幂零矩阵，其幂零指数为2，因为获得零矩阵的二次方。

3×3 幂零矩阵的示例

下面的 3阶方阵是幂零的：

尽管将矩阵提高到 2 我们并没有得到零矩阵：

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-6&0&-6\\[1.1ex]0&0&0\\[1.1ex] 6&0&6\end{pmatrix}$

但是在计算矩阵的立方时，我们得到一个所有元素都等于 0 的矩阵：

$\displaystyle B^3= \begin{pmatrix}-6&0&-6\\[1.1ex]0&0&0\\[1.1ex] 6&0&6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\\[1.1ex]\bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\\[1.1ex] \bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\end{pmatrix}$