直线的向量方程

在此页面上，您将了解如何计算直线的矢量方程。此外，您将能够看到几个示例并通过已解决的练习进行练习。您还将发现如何从矢量方程获得直线的点。

直线的矢量方程是什么？

请记住，直线的数学定义是一组连续的点，这些点以相同的方向表示，没有曲线或角度。

因此，线向量方程是一种以数学方式表达任何线的方法。并且，为此，所需要的只是属于该线的一个点和该线的方向向量。

直线的矢量方程是如何计算的？

是的

$\vv{\text{v}}$

是直线的方向向量，

$P$

属于右边的点：

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

直线的矢量方程的公式为：

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
$P_1$

和

$P_2$

是属于线的已知点的坐标。
$\text{v}_1$

和

$\text{v}_2$

是直线方向向量的分量。
$t$

是一个标量（实数），其值取决于线上的每个点。

它是平面中直线的矢量方程，也就是说，当使用 2 个坐标（在 R2 中）的点和矢量时。然而，如果我们在空间中（在 R3 中）进行计算，我们就必须在直线方程中添加一个额外的分量：

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

另一方面，请记住，除了矢量方程之外，还有其他方法可以解析地表达直线：参数方程、连续方程、隐式（或一般）方程、显式方程和直线的点斜率方程。您可以在此链接的行中查看所有类型的方程。

如何求直线向量方程的示例

让我们通过一个例子来看看如何确定直线的矢量方程：

写出经过该点的直线的矢量方程
$P$

并且有

$\vv{\text{v}}$

作为引导向量：

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

要找到直线的矢量方程，只需应用其公式：

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

从直线的向量方程中获取点

一旦我们找到了直线的矢量方程，就很容易计算出直线经过的点。要确定线上的点，只需为参数指定一个值即可

$\bm{t}$

直线的向量方程。

例如，给定以下直线向量方程：

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

更换即可得分

$t$

任意数字，例如

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

我们可以计算线上的另一个点给出未知数

$t$

不同的数字，例如

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

因此，我们可以得到直线上无穷多个点，因为变量

$t$

可以取无限值。

解决了直线矢量方程的问题

练习1

求通过该点的直线的矢量方程

$P$

其方向向量为

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

查看解决方案

要计算直线的矢量方程，只需应用其公式：

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

练习2

计算上一个问题的直线上的三个点。

查看解决方案

要从矢量方程描述的直线上获取点，必须给参数赋值

$t.$

上一题计算出的向量方程为：

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

为了计算一个点，我们替换未知数

$t$

例如通过

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

为了找到第二点，我们给出

$t$

例如的值

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

最后，我们通过赋值得到第三点

$t$

的价值

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

您可能会得到不同的分数，因为这取决于您赋予参数的值

$t.$

但如果您遵循相同的程序，一切都会好起来的。

练习3

或者说两点：

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

求通过这两点的直线的矢量方程。

查看解决方案

在这种情况下，我们没有直线的方向向量，我们必须首先找到它的方向向量，然后找到直线的方程。

因此，要找到直线的方向向量，我们必须计算由两个给定点定义的向量：

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

一旦我们知道了直线的方向向量，我们就可以根据给定的点之一和公式确定其向量方程：

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

将另一个给定点代入公式得出的方程也是有效的：

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

直线的矢量方程是什么？

直线的矢量方程是如何计算的？

如何求直线向量方程的示例

从直线的向量方程中获取点

解决了直线矢量方程的问题

练习1

练习2

练习3

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