直线的隐式或一般（或笛卡尔）方程

在此页面上，您将了解如何计算直线的隐式方程（也称为直线的一般方程或笛卡尔方程）。此外，您将能够看到各种示例，甚至可以通过逐步解决的直线练习进行练习。

直线的隐式方程、一般方程或笛卡尔方程是什么？

请记住，直线的数学定义是一组连续的点，这些点以相同的方向表示，没有曲线或角度。

因此，直线的隐式方程，也称为一般方程或笛卡尔方程，是一种用数学方式表达任何直线的方法。为此，您需要的只是直线的方向向量和属于该直线的点。

直线的隐式、一般或笛卡尔方程的公式

是的

$\vv{\text{v}}$

是直线的方向向量，

$P$

属于右边的点：

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直线的隐式、一般或笛卡尔方程的公式为：

$Ax+By+C=0$

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
系数
$A$

是方向向量的第二个分量：

$A=\text{v}_2}$
系数
$B$

是方向向量改变符号的第一个分量：

$B=-\text{v}_1}$
系数
$C$

通过替换已知点来计算

$P$

在直线方程中。

另一方面，请记住，除了隐式（或一般）方程之外，还有其他方法可以解析地表达直线：矢量方程、参数方程、连续方程、显式方程和点斜率方程艾琳.您可以在我们的网站上查看它们各自的内容。

计算直线的隐式、一般或笛卡尔方程的示例

光看公式，似乎这类直线方程有点难找。但你可以看到，事实恰恰相反，我们将通过一个例子来了解如何找到直线的一般（或隐式）方程：

求通过该点的直线的隐式方程
$P$

并且有

$\vv{\text{v}}$

作为引导向量：

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

正如我们在上一节中看到的，直线的隐式方程的公式为：

$Ax+By+C=0$

因此，我们必须找到系数 A、B 和 C。未知数 A 和 B 是从直线方向向量的坐标中获得的，因为以下等式始终得到验证：

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

因此，系数 A 是向量的第二个坐标，系数 B 是向量改变符号的第一个坐标：

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

因此，该直线的隐式方程如下：

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

因此，我们只需要找到系数C即可。为此，我们必须将已知属于该直线的点代入其方程：

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

现在我们求解所得方程：

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

因此，该直线的隐式、一般或笛卡尔方程为：

$\bm{3x-2y-17=0}$

从连续方程中找到隐式方程（一般方程或笛卡尔方程）

我们刚刚看到了一种求直线一般方程的方法。然而，还有另一种方法是根据其连续方程。让我们通过一个例子来看看这是如何完成的：

计算由其连续方程定义的以下直线的一般（或隐式）方程：

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

首先，我们交叉分数相乘：

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

其次，我们使用分配律求解括号：

$6x-6=-2y-8$

接下来，我们将所有项移至方程左侧：

$6x-6+2y+8=0$

最后，我们对各项进行分组，从而得到该直线的一般方程：

$\bm{6x+2y+2=0}$

解决了隐式或一般（或笛卡尔）方程的问题

练习1

写出经过该点的直线的一般方程

$P$

并且有

$\vv{\text{v}}$

作为引导向量：

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

查看解决方案

直线的一般方程的公式为：

$Ax+By+C=0$

因此，我们必须找到 A、B 和 C。变量 A 和 B 是从直线的方向向量的坐标获得的，因为以下等式始终得到验证：

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

因此，系数 A 是向量的第二个坐标，系数 B 是向量改变符号的第一个坐标：

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

因此，该直线的隐式方程如下：

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

因此，我们只需要找到系数C即可。为此，我们需要将已知属于该直线的点代入该直线的方程中，并求解得到的方程：

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

简而言之，该直线的隐式、一般或笛卡尔方程为：

$\bm{2x+y-8=0}$

练习2

计算下面一行的笛卡尔方程：

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

查看解决方案

该方程表示为连续方程，因此要找到其隐含方程，我们需要交叉分数并将所有项放入方程的一侧：

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

练习3

确定下一条线上的点及其方向向量。该线由其一般方程表示：

$-x-3y+6= 0$

查看解决方案

直线方向向量的分量可以由直线一般方程的系数A和B获得：向量的第一个分量对应于系数B改变符号，向量的第二个分量等于系数A。所以：

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

另一方面，要计算线上的点，必须为变量赋值。例如，我们做

$x=0$

我们求解所得方程：

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

所以这条线的要点是：

$\bm{P(0,2)}$

您可能会得到不同的观点，因为这取决于您赋予变量 X（或变量 Y）的值，但如果您遵循相同的过程，它也是正确的。另一方面，线的方向向量必须与计算的方向向量相同。

练习4

求通过以下两点的直线的隐式方程：

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

查看解决方案

在这种情况下，我们不知道直线的方向向量，所以我们首先需要找到它的方向向量，然后找到直线的方程。

要找到直线的方向向量，只需计算由两个给定点定义的向量：

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

一旦我们知道了直线的方向向量，我们现在就可以根据其公式确定其隐式（或一般或笛卡尔）方程：

$Ax+By+C=0$

未知数 A 和 B 是从直线方向向量的坐标获得的，因为系数 A 是向量的第二个坐标，而系数 B 是向量改变符号的第一个坐标：

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

因此，该直线的隐式方程如下：

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

因此，找到系数 C 就足够了。为此，我们必须将已知属于该直线的点代入该直线的方程中，并求解所得方程：

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

最后，该直线的隐式、一般或笛卡尔方程为：

$\bm{4x+6y-10=0}$

练习5

求垂直于直线的直线的隐式方程

$r$

以及整个过程中会发生什么

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

查看解决方案

两条垂直线具有彼此正交的方向向量，因此我们需要找到该线的方向向量

$r$

然后是垂直于它的向量。

线的方向向量的分量

$r$

它们可以从直线一般方程的系数 A 和 B 中获得：矢量的第一个分量对应于系数 B 改变符号，矢量的第二个分量等于系数 A。

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

我们现在需要找到一个垂直向量。为此，只需插入向量的坐标并更改其中之一的符号：

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

因此，这将是垂直于

$r.$

一旦我们知道了直线的方向向量，我们现在就可以根据其公式确定其隐式（或一般或笛卡尔）方程：

$Ax+By+C=0$

未知数 A 和 B 是从直线方向向量的坐标获得的，因为系数 A 是向量的第二个坐标，而系数 B 是向量改变符号的第一个坐标：

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$