直线的参数方程

在此页面上，您将了解如何从一个点和一个向量或从两个点计算任何直线的参数方程。您还将了解如何使用其参数方程获得直线上的不同点。而且，更重要的是，您将能够看到几个示例并通过已解决的练习进行练习。

如何求直线的参数方程

要确定任何直线的参数方程，您只需要它的方向向量和属于该直线的点。

是的

$\vv{\text{v}}$

是直线的方向向量，

$P$

属于右边的点：

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直线参数方程的公式为：

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
$P_1$

和

$P_2$

是属于线的已知点的坐标。
$\text{v}_1$

和

$\text{v}_2$

是直线方向向量的分量。
$t$

是一个标量（实数），其值取决于线上的每个点。

因此，参数方程是一种解析表达直线的方法。

这些是平面中直线的参数方程，也就是说，当使用 2 个坐标（在 R2 中）的点和向量时。然而，如果我们在空间中（在 R3 中）进行计算，我们需要为第三个分量 Z 添加一个附加方程：

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

另一方面，请记住，除了参数方程之外，还有其他方法可以用数学方式描述直线：矢量方程、连续方程、隐式（或一般）方程、显式方程和点斜率方程艾琳.您可以在我们的网站上查看它们各自的内容。

确定直线参数方程的示例

现在让我们通过一个例子来看看如何找到一条直线的参数方程：

写出经过该点的直线的参数方程
$P$

并且有

$\vv{\text{v}}$

作为引导向量：

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

为了计算直线的参数方程，我们需要应用它的公式：

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

因此，我们将点的坐标和方向向量代入公式：

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

从直线参数方程中获取点

一旦我们找到了直线的参数方程，就很容易计算出直线经过的点。要确定线上的点，必须为参数指定一个值

$\bm{t}$

线的参数方程。

例如，给定以下直线参数方程：

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

我们可以通过替换来获得直线上的点

$t$

任意数字，例如

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

如果我们替换变量，我们可以计算线上的另一个点

$t$

例如用不同的数字

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

因此，我们可以得到直线上无穷多个点，因为变量

$t$

可以取无限值。

如何计算两点直线的参数方程

参数方程的另一个典型问题是，它们给了我们两个属于直线的点，我们必须根据它们计算参数方程。我们通过一个例子来看看它是如何解决的：

求通过以下两点的直线的参数方程：

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

正如我们在上面几节中看到的，为了找到一条线的参数方程，我们需要它的方向向量和它上面的一个点。我们已经在右侧有了一个点，但缺少它的方向向量。因此，首先我们需要计算直线的方向向量，然后计算参数方程。

要找到直线的方向向量，只需计算表达式中给出的两点定义的向量即可：

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

一旦我们知道了直线的方向向量，要找到它的参数方程，我们只需要应用以下公式：

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

在这种情况下，我们用 A 点来定义参数方程，但将它们与它们在声明中给我们的另一点一起写也是正确的：

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

解决了直线参数方程问题

练习1

求其方向向量为的直线的参数方程

$\vv{\text{v}}$

并通过点

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

查看解决方案

要找到直线的参数方程，只需应用其公式：

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

练习2

计算由参数方程定义的以下直线的两个不同点：

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

查看解决方案

要从用参数方程表示的直线上获取点，必须给参数赋予值

$t.$

因此，为了计算第一个点，我们代入未知数

$t$

例如通过

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

为了找到我们给出的线上的第二个点

$t$

例如的值

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

您可能会得到不同的分数，因为这取决于您赋予参数的值

$t.$

但如果您遵循相同的程序，一切都会好起来的。

练习3

鉴于以下几点：

$P(3,-1)$

判断该点是否属于以下直线：

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

查看解决方案

要检查该点是否属于该线，必须将其坐标代入该线的方程中，并查看每个方程中是否找到相同的参数值

$t.$

在这种情况下，将意味着该点是线的一部分，否则将意味着线不经过该点。

因此，我们将点的坐标代入线的参数方程中：

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

我们求解两个所得方程：

X坐标

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Y坐标

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

我们得到了两个值

$t$

不同，所以点不就行了。

练习4

计算经过以下两点的直线的参数方程：

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

查看解决方案

为了计算一条线的参数方程，我们需要知道它的方向向量和它的一个点。在这种情况下，我们在线上已有一个点，但缺少它的方向向量。因此，我们必须首先计算直线的方向向量，然后计算参数方程。

要找到直线的方向向量，只需计算表达式中给出的两点定义的向量即可：

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

一旦我们知道了直线的方向向量，为了找到它的参数方程，我们只需应用以下公式：

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

在这种情况下，我们选择 A 点来定义参数方程，但将它们与它们在声明中给我们的另一个点一起写也是有效的：

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

参数方程的应用

显然，正如我们所见，参数方程的主要用途是定义直线。然而，参数方程也用于描述其他类型的几何元素。

例如，任何周长都可以用参数方程来表达。是的

$r$

是圆的半径并且

$C(x_0,y_0)$

是圆心的坐标，圆的参数化为：

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

同样，也可以配置椭圆形。是的

$C(x_0,y_0)$

是椭圆中心的坐标，

$a$

其水平半径和

$b$

以其垂直半径，椭圆的参数方程为：

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

同样，可以制作其他曲线的参数表示，例如抛物线甚至双曲线。尽管我们没有在本文中展示它们，因为它们要复杂得多。

最后，计划也可以通过参数表达式来定义。事实上，平面的参数方程为：

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$

是

$P(x_0,y_0,z_0)$

平面上的一个固定点，系数

$\lambda$

和

$\mu$

两个未知参数，以及

$\vv{\text{u}}= (\text{u}_1,\text{u}_2)$

和

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2)$

平面内包含的两个不同方向的向量。

如何求直线的参数方程

确定直线参数方程的示例

从直线参数方程中获取点

如何计算两点直线的参数方程

解决了直线参数方程问题

练习1

练习2

练习3

练习4

参数方程的应用

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