横向限制

在本文中,我们将解释什么是函数的横向极限(并附有示例)。我们还教您如何以图形和数字方式计算函数的左侧和右侧极限。此外,您将能够通过逐步解决横向限制的练习进行训练。

横向限制是多少?

函数在某一点的横向极限研究函数在该点周围的行为。有左侧极限和右侧极限,分别分析函数在考虑点左侧和右侧的值。

左右侧向限制

正如我们在横向边界的定义中看到的,有两种类型:左侧边界和右侧边界。

函数的左极限在分析极限的点处用减号表示,而右极限则用加号表示。

左侧横向极限

\displaystyle\lim_{x\to a^{\color{orange}\bm{-}\color{black}}}f(x)

右侧横向极限

\displaystyle\lim_{x\to a^{\color{orange}\bm{+}\color{black}}}f(x)

看下面的例子可以更好地理解横向限制的含义:

横向限制

正如您在此分段函数的图形表示中所看到的,横向限制取决于计算它们的一侧。

在这种情况下,当 x 从左边接近 2 时,函数会接近 3,因为当x从左边接近 x=2 时,函数会取更接近 3 的值。

另一方面,函数在 x=2 处的直线的横向极限值为 6。因为如果我们通过直线接近点 x=2,函数的值会越来越接近 f(x)= 6.

另一方面,您应该知道横向限制与普通限制具有相同的属性。在以下链接中,您可以看到边界属性是什么:

请参阅:边界属性

等横向限制

我们刚刚看到了一个函数的边限不同的例子,但是……如果边限相同会发生什么?

如果函数在一点处的两个横向极限都存在并且相等,则函数在该点存在极限,极限的结果就是横向极限的值。

换句话说,要使函数在一点处存在极限,必须满足以下条件:

\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L \ \iff \ \lim_{x\to a}f(x)=L

因此,如果函数在一点处的横向极限不同,则该函数在该点的极限不存在。

另外,函数在点处的极限的存在是函数在点处连续的必要条件。

让我们通过一个例子来完成对横向极限概念的理解:

图形表示的函数点 x=-2 处的横向极限是重合的,因为无论我们从左侧还是从右侧接近 x=-2,函数的值都趋向于 3。因此,函数在 x=-2 处的极限等于 3。

\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^+}f(x)=3 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to -2}f(x)=3

另一方面,在点 x=4 处,横向极限不同,因为从左侧函数接近 f(x)=3,但从右侧函数接近 f(x)=2。因此此时函数的极限不存在。

\displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=3 \neq \lim_{x\to 4^+}f(x)=2 \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ \lim_{x\to 4}f(x)

横向限制的计算

给定横向极限的定义,我们将通过求解以下示例来了解如何以数值方式计算它们:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3}{x-2}

如果我们照常计算极限,我们就得到实数除以 0 的不确定性:

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{2-2}=\frac{3}{0}=\infty

然而,在计算横向极限时,我们没有得到任何不确定性。

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\ \color{red}\bm{?}\color{black} \qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{3}{x-2}=\ \color{red}\bm{?}

要计算函数在 x=2 处从左侧开始的横向极限,必须取一个小于 x=2 但非常接近的数字,例如 x=1.999。

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{\color{red}\bm{1,999}\color{black}-2}

在这种情况下,分母将是一个非常小的负数,但甚至不是零,通常用零和前面的减号表示:

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{1,999-2}=\frac{3}{\color{red}\bm{-0}\color{black}}

因此,横向极限的结果是负无穷大,因为任何数字除以 0 都会得到无穷大,正数除以负数都会得到负数:

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{1,999-2}=\frac{3}{-0}=\color{red}\bm{-\infty}\color{black}

我们可以通过计算左侧接近 x=2 的值的函数图像来验证该函数是否接近负无穷大。

\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(1,9)=\cfrac{3}{1,9-2}=-30\\[2ex]f(1,99)=\cfrac{3}{1,99-2}=-300\\[2ex]f(1,999)=\cfrac{3}{1,999-2}=-3000\\[2ex]f(1,9999)=\cfrac{3}{1,9999-2}=-30000\\[2ex]f(1,99999)=\cfrac{3}{1,99999-2}=-300000\end{array}\\[16ex]\vdots\\[1.5ex] f(2^-)=-\infty\end{array}

同样,要找到函数在右侧点 x=2 处的极限,我们可以应用相同的推理:我们取一个大于 2 但非常接近的值,例如 2001。

\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{2,001-2}=\frac{3}{+0}=+\infty

同理,我们可以通过计算从右边开始越来越接近x=2的函数图像来验证函数是否趋于无穷大。

\begin{array}{c}\begin{array}{l}f(2,1)=\cfrac{3}{2,1-2}=30\\[2ex]f(2,01)=\cfrac{3}{2,01-2}=300\\[2ex]f(2,001)=\cfrac{3}{2,001-2}=3000\\[2ex]f(2,0001)=\cfrac{3}{2,0001-2}=30000\\[2ex]f(2,00001)=\cfrac{3}{2,00001-2}=300000\end{array}\\[16ex]\vdots\\[1.5ex] f(2^+)=+\infty\end{array}

在下图中,您可以看到所分析的函数。可以看到,函数在左边点x=2处的横向极限是负无穷大,函数在右边点x=2处的横向极限是正无穷大。

横向边界问题已修复

练习1

求以下分段定义函数在定义发生变化的点(x=-2 和 x=4)处的横向极限。

横向极限在 x=-2 点处不重合,左侧函数趋于 f(x)=5,另一方面,右侧函数为常数且值为 3。

\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=5

\displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=3

当 x 接近 4 时,边限也不同。分段函数从左侧接近 3,但从右侧接近 -2。

\displaystyle\lim_{x\to 4^-}f(x)=3

\displaystyle\lim_{x\to 4^+}f(x)=-2

练习2

判断下列分段函数的 x 接近 3 时极限是否存在,如果存在,其值是多少。

分段函数的横向极限

在这个问题中,从左到右的点 x=3 处的横向极限是相同的,因为无论从左还是从右接近,函数都趋向于相同的值 (f(x)=3) 。他的右侧:

\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=3

\displaystyle\lim_{x\to 3^+}f(x)=3

因此,根据极限的数学定义,当x趋向于3时函数的极限等于3,因为同一点的两个横向极限在该值处重合:

\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^+}f(x)=3 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to 3}f(x)=3

虽然x=3处函数的极限是3,但必须考虑到此时的函数不是3,而是f(3)=7。正如我们稍后将看到的,这意味着该函数在 x=3 处不连续,而是具有可避免的不连续性。

练习3

计算以下有理函数在点 x=4 处的横向极限。

f(x)=\cfrac{-2x+3}{x-4}

为了计算 x 从左边趋向于 4 时的极限,我们取一个小于 4 但非常接近它的值,例如 3,999:

\displaystyle\lim_{x\to 4^-}\frac{-2x+3}{x-4}=\frac{-2\cdot 3,999+3}{3,999-4}=\frac{-4,998}{-0}=+\infty

因此,当 x 从左侧接近 4 时,横向极限是正无穷大。

为了解决 x 从右侧趋向于 4 时的极限,我们以大于 4 但非常接近 4 的值来计算函数,例如 4,001:

\displaystyle\lim_{x\to 4^+}\frac{-2x+3}{x-4}=\frac{-2\cdot 4,001+3}{4,001-4}=\frac{-5,002}{+0}=-\infty

因此,当 x 从右侧接近 4 时,横向极限为负无穷大。

练习4

求在点 x=2 处定义的以下分段函数的极限(如果存在):

查看解决方案

在这种情况下,问题陈述要求我们找到分段函数改变表达式的极限,因此我们需要使用第一个表达式找到左侧的极限,使用第二个表达式找到右侧的极限。

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x^2-3)=2^2-3=1

\displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{-3x+5}{x-3}=\frac{-3\cdot 2+5}{2-3}=\frac{-1}{-1}=1

左侧 x=2 处函数的极限与右侧函数的极限重合,因此该函数的极限存在且等于 1:

\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)=1 \ \longrightarrow \ \lim_{x\to 2}f(x)=1

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