▷ 函数的凹凸（曲率）

在这里，您将了解什么是函数的凹性和凸性，以及如何判断函数是凹函数还是凸函数。此外，您还可以逐步练习函数曲率。

什么是函数的凹性和凸性？

函数的凹性和凸性是指函数图形的曲率。凹函数是图形具有山形状的函数，凸函数是图形具有山谷形状的函数。

上一段为了便于理解，对凹函数和凸函数进行了非正式的定义，但凹函数和凸函数的数学定义如下：

凹函数：当函数任意两点相连的线段在曲线下方时。
凸函数：当函数任意两点相连的线段位于曲线上方时。

最终，凹函数和凸函数之间的区别在于函数的形状，因此，您可以从函数的图形中区分凹函数和凸函数。

然而，函数不一定在其整个域上是凹函数或凸函数，也可以在一个区间上是凹函数，在另一个区间上是凸函数。

注意：数学界仍然没有完全同意，因此，一些教授提出了相反的说法：他们将形状为 a 的函数称为凹函数

$\bm{\cup}$

，以及一个凸函数，其形式为

$\bm{\cap}$

。无论如何，重要的是知道函数是什么，无论名称如何。

如何研究函数的曲率

研究函数的曲率涉及求函数的凹凸性，即知道函数凹的区间和凸函数的区间。

因此，要研究函数的曲率，必须执行以下步骤：

找出不属于函数定义域的点。
计算函数的一阶导数和二阶导数。
求二阶导数的根，即通过求解计算抵消二阶导数的点
$f''(x)=0$

。
用导数的根和不属于函数定义域的点建立区间。
计算每个区间中某个点的二阶导数值。
因此，二阶导数的符号决定了该区间内函数的凹性或凸性：
- 如果函数的二阶导数为正，则函数在此区间上是凸函数。
- 如果函数的二阶导数为负，则函数在此区间上是凹函数。

如何求函数曲率的示例

接下来，我们将逐步求解一个示例，以便您了解如何计算函数的凹凸区间。

研究以下函数的凹凸性：

$f(x)=x^3-3x$

首先要做的是计算函数的定义域。在这种情况下，我们有一个多项式函数，因此函数的域由实数组成：

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

一旦我们计算了函数的域，我们就需要研究函数的二阶导数在哪些点消失。

因此，我们计算函数的一阶导数：

$f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)= 3x^2-3$

然后我们求函数的二阶导数：

$f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x$

现在我们将二阶导数设置为 0 并求解方程：

$f''(x)=0$

$6x=0$

$x=\cfrac{0}{6}$

$x=0$

一旦我们计算了函数的域并且

$f''(x)=0$

，我们代表线上找到的所有关键点。在这种情况下，我们在计算函数定义域时没有找到任何临界点，但我们得到了一个抵消函数二阶导数的点：

现在我们评估每个区间内的二阶导数的符号，以了解该函数是凹函数还是凸函数。因此，我们在每个区间取一个点（而不是临界点），并查看此时二阶导数的符号：

$f''(x)=6x$

$f''(-1) = 6\cdot (-1)=-6 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(1) = 6\cdot 1=+6 \ \rightarrow \ \bm{+}$

最后，我们推导出函数的凹凸区间。如果二阶导数为正，则表示该函数是凸函数。

$(\bm{\cup})$

，如果二阶导数为负，则意味着该函数是凹函数

$(\bm{\cap})$

。因此函数的凹凸区间为：

凸面

$(\bm{\cup})$

$\bm{(0,+\infty)}$

凹

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,0)}$

解决了函数的凹性和凸性练习

练习1

计算以下多项式函数的凹凸区间：

$f(x) = x^3-3x^2-2x$

查看解决方案

练习中的函数是多项式，因此函数的域由实数组成：

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

确定函数的定义域后，我们对其进行微分：

$f(x)=x^3-3x^2-2x \ \longrightarrow \ f'(x)= 3x^2-6x-2$

然后我们求函数的二阶导数：

$f'(x)= 3x^2-6x-2 \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x-6$

现在我们将二阶导数设置为 0 并求解方程：

$f''(x)= 0$

$6x-6= 0$

$6x= 6$

$x= \cfrac{6}{6}$

$x=1$

一旦我们计算了函数的域并求解

$f''(x)=0$

，我们表示数轴上找到的所有奇异点：

现在让我们取一个属于每个区间的点，看看此时的二阶导数是什么符号：

$f''(0)= 6\cdot 0-6 = -6 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2)= 6\cdot 2-6 = 12-6=+6 \ \rightarrow \ \bm{+}$

当二阶导数大于零时，表示函数是凸函数。

$(\bm{\cup})$

，但是当二阶导数为负时，这意味着该函数是凹函数

$(\bm{\cap})$

。因此，凹凸区间为：

凸面

$(\bm{\cup})$

$\bm{(1,+\infty)}$

凹

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,1)}$

练习2

研究以下有理函数的曲率：

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$

查看解决方案

首先我们需要计算函数的域。由于这是一个有理函数，我们将分母设置为零，看看哪些数字不属于函数的域：

$x^2-4= 0$

$x^2=4$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

这意味着当x为-2或+2时，分母将为0。因此，该函数将不存在。因此，函数的域由除 x=-2 和 x=+2 之外的所有数字组成。

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}$

其次，我们计算函数的一阶导数：

$f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}$

然后我们求解二阶导数：

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }$

所有项均乘以

$(x^2-4)$

。因此我们可以简化分数：

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }$

现在我们来计算函数二阶导数的根：

$f''(x)= 0$

$\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0$

期限

$\left(x^2-4\right)^3$

这涉及到将整个左侧除，因此我们可以将其乘以整个右侧：

$8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3$

$8x^3+96x =0$

我们提取公因数：

$x(8x^2+96)=0$

为了使乘法等于 0，乘法的两个元素之一必须为零。因此，我们将每个因子设置为0：

$\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$