无穷大 (无穷大/无穷大) 之间的无限不确定性

在本文中，我们将解释如何计算无穷大 (无穷大/无穷大) 之间的不确定性。您会发现这种不确定性的各种函数的例子：多项式、根式、指数函数等。此外，您将能够通过逐步解决极限的练习进行训练，这些极限给出了无穷大之间的无限不确定性。

如何解决无穷大与无穷大之间的不确定性

当函数的极限给出无穷大除以无穷大时，就意味着它是不确定性（或不确定形式）。为了求解给出无穷大之间的不确定性的函数的极限，必须将分子多项式的次数与分母多项式的次数进行比较。

不确定性无穷大除以无穷大的结果取决于分数的分子次数和分母次数：

1. 如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则不确定性的无穷大除以无穷大等于零。
2. 如果分子多项式的次数等于分母多项式的次数，则无穷大上的无限不确定性是两个多项式的首项系数的商。
3. 如果分子多项式的次数大于分母多项式的次数，则无穷大之间的不确定性给出或多或少的无穷大（符号取决于两个多项式的主要项）。

无穷大之间的无限不确定性的例子

让我们通过查看每种情况的几个示例来看看如何解决无穷大之间的不定形式无穷大：

分子的次数小于分母的次数

正如我们在上面看到的，当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时，无穷大之间的无限不确定极限总是给出 0。

示例1：

分子的多项式是二次多项式，分母的多项式是三次多项式，所以极限的解为0。

示例2：

分子的多项式函数是一次，但分母的函数是四次，所以负无穷大的极限是0。

分子的次数等于分母的次数

当分子多项式的次数等于分母多项式的次数时，通过将两个多项式的首项系数（较高次数项的系数）相除来计算不定极限无穷大除以无穷大。

示例3：

在这种情况下，两个多项式都是二阶多项式，因此需要除以更高阶项的系数才能找到正无穷大的极限。

示例4：

虽然极限是当x趋于负无穷大时，无穷大之间的无限不确定性以同样的方式解决。

分子的次数大于分母的次数

当分子多项式的次数大于分母多项式的次数时，无穷大之间的无穷大的不定形式将始终给出无穷大，并且无穷大的符号由两个多项式的较高次数项确定。

实施例5：

分子的函数比分母的函数具有更高的次数，因此无穷大上的不确定性无穷大给出无穷大。此外，在这种情况下，分子和分母都为正无穷大，因此极限的结果也必须为正。

实施例6：

在这个问题中，从分子获得正无穷大，因为任何平方项都是正数，另一方面，从分母获得负无穷大。因此，所得极限为负数，因为正数除以负数等于负数。

无穷大与根之间的无限不确定性

我们刚刚看到了当我们有多项式函数时如何计算无穷大之间的无限不确定性。但是……如果我们有根的话，无穷大除以无穷大是多少？

无理函数（有根函数）的次数是主项的次数与根式指数之间的商。

因此，如果有根函数的极限给出了 无穷大 之间的不确定性，我们必须对分子和分母的次数应用上面解释的相同规则，但要考虑到有根多项式的次数的计算方式不同。

请看以下带有根式的函数的无穷大极限示例：

分子的次数为 2，分母的次数为 4 (8/2=4)，因此极限为 0，因为分子的次数小于分母的次数。

另一方面，如果分子和分母的次数相等，要计算不定极限，我们必须用根式取主系数：

无穷大与指数函数之间的无限不确定性

最后，我们只需要研究无穷大的不确定商的一个例子：无穷大和指数函数之间的无穷不确定商是多少。

指数函数的增长远大于多项式函数的增长，因此我们必须考虑指数函数的次数大于多项式函数的次数。

在这种情况下，分母由指数函数形成，因此它的阶数比分子高。因此，无穷大之间的不确定形式无穷大消失了。

解决了无穷大之间的无限不确定性练习

练习1

计算以下有理函数的极限：

在计算极限时，我们得到无穷大之间的无限不确定性，但由于分子的次数小于分母的次数，因此不确定极限等于零。

练习2

求解下列不定极限：

当尝试计算极限时，会得到不确定性 ∞/∞。在这种情况下，分子多项式的次数大于分母多项式的次数，因此不确定极限等于加上无穷大。

练习3

求解以下无穷远极限：

该极限给出了正无穷大与负无穷大之间的不确定性。分子的次数大于分母的次数，因此不定极限等于加上无穷大。然而，由于除法是负无穷大除以正无穷大，因此结果是负无穷大。

练习4

求解下列不定极限：

在这个问题中，无穷大上的无限不定形式是由两个同次多项式的商得到的，因此，不定极限的结果是它们的主要系数的除法：

练习5

计算以下至少到无穷大的极限：

分子的代数表达式的次数小于分母的代数表达式的次数，因此不确定性 +∞/+∞ 给出 0：

练习6

求解以下有根函数的不定极限：

分子的表达式位于根式下方，因此其次数为 7/3。另一方面，分母中的多项式是二次的。由于 7/3>2，极限给出正无穷大：

练习7

确定以下带分数函数的无穷大极限：

在本练习中，分子次数大于分母次数时，可得到不确定性负无穷大除以负无穷大，因此：

练习8

求下列函数的至少无穷大极限：

分母多项式是二次的，而分子多项式是线性的。因此，不确定性的无穷大除以无穷大得到 0。

练习9

求解以下函数的至少无限极限：

分子的次数大于分母，因此不定形式 ∞/∞ 的结果将是无穷大。此外，无穷大符号将为负数，因为正数除以负数得到负数：

练习10

求解以下具有无穷大之间的无限不确定性的极限：

指数函数的阶数高于多项式函数，因此极限将为无穷大。但是，将正数除以负数，无穷大符号将为负数：

练习11

计算以下极限：

在这个问题中，无穷大上的不确定性通过除两个多项式的主系数来解决，因为它们具有相同的次数：

练习12

当 x 接近无穷大时，求解以下函数的极限：

虽然分子中的未知数不是直接平方的，但在求解显着恒等式时，我们可以清楚地看到分子的次数大于分母的次数。然而：

练习13

使用立方根计算以下函数的无穷大极限：

分子由立方根组成，因此其次数为3/3=1。那么，分子的次数等于分母的次数，因此无穷大之间的无限不确定性可以如下解决：

练习14

求解以下带有两个根式的函数的无穷大极限：

分子的次数为 7/3 = 2.33，分母的次数为 5/2 = 2.5。因此，由于分子的次数小于分母的次数，无穷大之间的不确定无限极限为 0：

练习15

计算以下极限：

无论分子的次数如何，由于分母中有一个指数函数，因此无穷大的不定形式的结果是 0：