▷ 如何解决无穷远极限（已解决+25 个练习）

在这里，您将了解如何求解所有类型的无穷大极限：多项式、有理函数、指数函数、有根函数、无穷大不确定性…此外，您将能够通过 25 个练习进行训练，逐步解决 x 时的极限问题趋于无限。。

当x趋于无穷大时函数的极限

当 x 接近无穷大时，函数的极限（无论是正数还是负数）可以是实值、正无穷大、负无穷大或不存在。要求解无穷大极限，您需要将 x 替换为无穷大。

从第一张图中可以看出，显示的函数倾向于将实际值k趋向于无穷大，因为随着x的增长，它会越来越接近k 。当x接近无穷大时，右上角的函数趋于无穷大，因为它随着x值的增加而无限增长。另一方面，左下角的图形不断减小，因此趋于负无穷大。最后，最后一个函数是周期性的并且不趋于任何值，因此在这种情况下没有无穷大的限制。

如何解无穷远极限

为了解决多项式函数中无穷大的极限，我们必须仅在函数的最高次项中将 x 替换为无穷大。

例如，看看以下无穷大极限的计算，其中我们仅将无穷大替换为最高次的单项式：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}$

正如您在示例中所看到的，+∞ 平方给出 +∞，因为非常大的数 (+∞) 的 2 次方始终会给出非常大的数 (+∞)。

乘法也会发生同样的事情：如果你乘以一个非常大的数（+无穷大），你总是会得到一个非常大的数（+无穷大）。例如：

$3\cdot (+\infty)= +\infty.$

警告：要计算无穷大的极限，考虑以下因素很重要：

→负数的偶数指数为正数。因此，负无穷大化为偶数指数得到正无穷大：

$(-\infty)^2 = +\infty$

→负数的奇数指数为负数。因此，负无穷大升到奇数指数就是负无穷大：

$(-\infty)^3 = -\infty$

→乘以负数会改变无穷大的符号：

$-2(+\infty) = - \infty$

→任何数字除以

$\pm \infty$

给出 0：

$\cfrac{5}{\infty} = 0$

无穷大极限的例子

因此，您可以看到如何在多项式中解决无穷大的限制，以下是解决的几个此类限制：

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}$

未确定的无穷大极限

无穷大的极限并不总是那么容易计算，因为有时我们会得到无穷大之间的无穷大的不确定性或无穷大减去无穷大的不确定性。

$\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty$

当我们得到这种类型的不确定性（或不确定形式）时，我们无法直接知道结果，而是必须执行初步程序来找到极限值。然后我们将看到如何解决无穷远的不确定极限。

无限之间的无限不确定性

要找到不确定性无穷大除以无穷大的结果，我们必须比较分数的分子次数和分母次数：

如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则无穷大上的无限不确定性等于零。
如果分子多项式的次数等于分母多项式的次数，则无穷大上的无限不确定性是两个多项式的主系数的商。
如果分子多项式的次数大于分母多项式的次数，则无穷大之间的无限不确定性给出或多或少的无穷大（符号取决于两个多项式的主要项）。

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”> 例如，在下面的极限中，分子多项式是二次多项式，而分母多项式是三次多项式，因此极限的解为 0。 <p class=$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

看另一个例子，其中有理函数的两个多项式都是二阶的，因此我们必须除以更高阶项的系数才能计算无穷大的极限。

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}$

最后，在下一个极限处，分子的函数的次数大于分母的函数的次数，因此无穷大对无穷大的不确定性给出无穷大。另外，从分子得到正无穷大，从分母得到负无穷大，所以极限的结果是负数（负数之间的正数是负数）。

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

无穷大与根之间的无限不确定性

另一方面，无理函数（有根函数）的次数是主项的次数与根式索引之间的商。

$\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}$

因此，如果有根函数的极限给出 infinity 之间的无限不确定性，我们必须应用上面解释的关于分子和分母的次数的相同规则，但要考虑到有根多项式的次数的计算方式不同。

看下面带有根式的函数的无限极限示例：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

分子的次数为 2，分母的次数为 4 (8/2=4)，因此极限为 0，因为分子的次数小于分母的次数。

无穷大与指数函数之间的无限不确定性

指数函数的增长远大于多项式函数的增长，因此我们必须考虑指数函数的次数大于多项式函数的次数。

$\text{exponencial}>\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”> 因此，如果不确定性无穷大除以无穷大是由指数函数的极限得出的，我们必须简单地应用解释分子和分母的次数的相同规则，但要考虑到指数函数的阶数比多项式高。 此外，如果除法的分子和分母中有指数函数，则具有最大基数的指数函数将是最高阶的指数函数。 <p class=$ $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

在此示例中，分母由指数函数构成，因此它的阶数比分子高。因此，无穷大之间的不定形式无穷大给出0。

无穷负无穷不确定性

求解无穷减无穷不确定性取决于函数是否有分数或根。那么让我们看看如何解决这两种不同情况的这种不确定性。

不确定性无限减无穷带分数

当代数分数的加法或减法出现无穷负无穷不确定性时，必须先进行分数的加法或减法，然后计算极限。

让我们通过逐步求解示例来了解如何在带分数的函数中计算不确定性无穷大减去无穷大：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)$

我们首先尝试计算极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}$

但我们得到了不确定性 ∞-∞。

我们必须首先减去分数。为此，我们将分数简化为一个公分母，即将一个分数的分子和分母乘以另一个分数的分母：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}$

现在两个分数具有相同的分母，我们可以将它们合并为一个分数：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}$

我们对分子和分母进行运算：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}$

最后我们再次计算极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

在这种情况下，无穷大之间的无限不确定性给出+∞，因为分子的次数大于分母的次数。

不定式无穷减无穷有根

当根式加法或根式减法出现无穷负无穷不确定性时，必须先将函数乘以、除以共轭根式表达式，然后求极限。

让我们通过以下分步示例来了解如何求解无理函数中的不确定性无穷大减无穷大：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)$

我们首先尝试求解带根函数的极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}$

然而，我们得到了不定形式 ∞-∞。因此，要知道无穷大减去无穷大有多少不确定性，您必须应用所解释的过程。

由于函数有根式，我们将整个函数乘以和除以共轭无理表达式：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

分子的代数表达式对应于和与差的乘积的显着恒等式，因此我们可以简化该表达式：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}$

现在我们简化极限的根，因为它是平方的：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

我们对分数的分子进行运算：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

最后，我们重新进行极限计算：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}$

因此极限的结果是 0，因为任何数字除以无穷大都等于 0。

解决了无穷大极限的练习

练习1

求图函数的下列极限：

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$

查看解决方案

当 x 趋于负无穷大且正无穷大时，函数的极限给出 1：

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$

函数在 x=-1 处的左右侧极限分别为正无穷大和负无穷大：

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty$

最后，当 x 趋于 1 时，函数的横向极限值是负无穷大和正无穷大：

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$

练习2

当 x 接近下列函数的无穷大时求解极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)$

查看解决方案

为了求解无穷大极限，我们需要将多项式最高次项中的 x 替换为无穷大：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}$

练习3

计算以下多项式函数的无穷大极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)$

查看解决方案

为了求解无穷大极限，我们将多项式最高次项中的 x 替换为无穷大并执行计算：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

练习4

求解以下多项式函数的至少无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)$

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为了计算无穷大的极限，我们用多项式最高次项中的负无穷大替换 x 并计算函数：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}$

由于负无穷大是平方的，因此无穷大的符号变为正数。

练习5

求以下有理函数的无穷大极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}$

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为了确定无穷大的极限，我们将分数分子和分母的最高次数项处的 x 替换为正无穷大：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}$

请记住，任何数字除以正负无穷大都等于 0。

练习6

求解以下无穷远极限：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)$

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要计算函数 x 趋于 ±∞ 时的极限，只需查看函数最高次数的单项式：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}$

练习7

当 x 接近负无穷大时，计算以下函数的极限：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)$

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在这种情况下，用无穷大代替二次项就足够了：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

练习8

当 x 接近无穷大时，求以下指数函数的极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x$

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虽然是指数函数，但求解极限的过程是一样的：将x替换为无穷大。

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}$

练习9

求解以下指数函数的无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}$

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要解决此限制，您必须使用分数的属性：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}$

练习10

求解以下无穷远极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}$

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该极限给出了正无穷大与负无穷大之间的不确定性。分子的次数大于分母的次数，因此不定极限等于加上无穷大。然而，由于除法是负无穷除以正无穷，因此结果是负无穷。

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}$

练习11

修复以下不确定限制：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}$

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在这个问题中，无穷大的不定形式是由两个同次多项式的商得到的，因此不定极限的结果是它们的主要系数的除法：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}$

练习12

计算以下至少到无穷大的极限：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}$

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分子的代数表达式次数小于分母的代数表达式次数，因此不确定性 +∞/+∞ 给出 0：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

练习13

求解以下有根函数的不定极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}$

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分子的表达式位于根式下，因此其次数为 7/3。另一方面，分母多项式是二次的。由于 7/3>2，极限给出了更多的无穷大：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

练习14

确定以下带分数函数的无限极限：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}$

查看解决方案

在本练习中，我们得到不确定性负无穷大除以负无穷大，其中分子的次数大于分母的次数，因此：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}$

练习15

求下列函数的至少无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}$

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分母多项式是二次的，而分子多项式是线性的。因此，无限的不确定性除以无穷大得到 0。

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}$

练习16

求解以下函数的至少无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}$

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分子比分母大一级，因此不定形式 ∞/∞ 的结果将是无穷大。此外，无穷大符号将为负数，因为负数之间的正数会转化为负数：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

练习17

求解以下无穷远极限：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}$

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指数函数的阶数高于多项式函数，因此极限将为无穷大。但是，将正数除以负数，无穷大符号将为负数：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}$

练习18

使用平方根计算以下函数的无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}$

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分子由平方根组成，因此其次数为 2/2=1。那么，分子的次数等于分母的次数，因此无穷大之间的无限不确定性可以如下解决：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}$

练习19

求解以下具有两个根式的函数的无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}$

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分子的次数为7/3=2.33，分母的次数为5/2=2.5。因此，由于分子的次数小于分母的次数，无穷大之间的不确定无限极限为 0：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

练习20

计算以下极限：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}$

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无论分子的次数如何，由于分母中有一个指数函数，因此不定形式无穷大的结果是 0：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

练习21

确定以下有理函数的无限极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)$

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首先，我们尝试通过将无穷大代入函数来计算极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}$

但我们发现不确定性 ∞ – ∞。因此，我们将分数减少到一个公分母：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}$

由于两个分数现在具有相同的分母，我们可以将它们合并为一个分数：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}$

我们把分子放在括号里：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}$

最后，我们确定限制：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

在这种情况下，不确定性 ∞/∞ 给出 +∞，因为分子的次数大于分母的次数。

练习22

当 x 接近 0 时，求解以下分数函数的极限：

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)$

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我们首先像往常一样尝试计算极限：

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}$

但我们得到了不定形式 ∞-∞。因此，我们必须将函数的分数减少到一个公分母。

在这种情况下， x ⁴是 x ²的倍数，因此只需将第二个分数的分子和分母乘以 x ² ，我们就可以确保两个分数具有相同的分母：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}$

我们现在可以减去两个分数：

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}$

我们再次尝试解决限制：

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}$

但我们最终得到了从零开始的常数的不确定性。因此有必要计算函数的横向极限。

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

总之，由于函数在点 x=0 处的两个横向极限为 -∞，因此该极限的解为 -∞：

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}$

练习23

求解以下有根函数的无限极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)$

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尝试求解极限，我们得到不确定性无穷大减去无穷大：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}$

因此，由于函数中有根式，所以必须乘以和除以共轭根式表达式：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

在分子中，我们有一个和与差的显着乘积，它等于平方差。然而：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

我们将根式简化为平方：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

我们对分子进行运算：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

最后我们找到了极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}$

在这种情况下，不确定性无穷大除以无穷大变得更加无限，因为分子的次数大于分母的次数（回想一下，平方根将次数减少了二：

$\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2$

）。

练习24

当 x 接近无穷大时，求解以下无理函数的极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)$

查看解决方案

首先，我们尝试照常计算极限：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}$

但这导致无穷大之差的不确定性。因此，由于函数有根，我们必须将表达式乘以和除以共轭根式：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}$

我们将分数分子的显着相等性分组：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

我们求解平方根：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

我们求解差平方的显着恒等式：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

我们对分子进行运算：

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

最后，我们计算无穷大的极限值：

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =$

尽管分母中有一个 x 平方，但它的次数实际上是 1，因为它位于根内部：

$\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .$

因此，不确定性 -∞/+∞ 的结果是最高次 x 的系数相除，因为分子的次数与分母的次数相同。

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}$

请注意，由于分母中有两个一级项

$\bigl(2x$

和

$\sqrt{4x^2}\bigr)$

，为了解决不确定性-∞/+∞，需要取一次项的所有系数，也就是说

$2$

的

$2x$

和

$\sqrt{4}$

的

$\sqrt{4x^2}.$

练习 25

计算当 x 接近以下带有分数的函数的 1 时的极限：

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$

查看解决方案

通过尝试求极限，我们得到无穷大减去无穷大的不确定极限：

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}$

因此，我们必须将分数化简为一个公分母，或者换句话说，我们必须将一个分数的分子和分母乘以另一个分数的分母：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}$

由于现在两个分数具有相同的分母，我们可以将它们放在一起：

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}$

我们经营：

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}$

我们再次尝试解决极限：

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}$

但我们发现不确定性为零除以零。因此，我们必须对分子和分母的多项式进行因式分解：

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}$

现在我们通过删除分子和分母中重复的因子来简化分数：

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}$

最后，我们解决了限制：

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}$

当x趋于无穷大时函数的极限

如何解无穷远极限

无穷大极限的例子

未确定的无穷大极限

无限之间的无限不确定性

无穷大与根之间的无限不确定性

无穷大与指数函数之间的无限不确定性

无穷负无穷不确定性

不确定性 无限减无穷 带分数

不定式无穷减无穷有根

解决了无穷大极限的练习

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

练习6

练习7

练习8

练习9

练习10

练习11

练习12

练习13

练习14

练习15

练习16

练习17

练习18

练习19

练习20

练习21

练习22

练习23

练习24

练习 25

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不确定性无限减无穷带分数

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