无理函数或根式函数 -

本页解释什么是无理函数（也称为根式函数），以及此类函数的所有特征。您还将了解如何计算根函数或无理函数的域，此外，您将能够了解如何通过示例在图表上表示它们，并通过练习和逐步解决的问题进行练习。

什么是无理（或激进）函数？

无理函数与根式函数的含义相同，因此它们共享一个定义：

无理函数，也称为根式函数，是自变量 x 位于根符号下的函数。

我们已经知道，根的结果可以是正的，也可以是负的。因此，无理（或根式）函数的表示有两条可能的曲线：

但如果没有指定符号，则应该表示正函数。

另一方面，无理函数不应与有理函数混淆。尽管它们的名称非常相似，但它们是两种完全不同类型的函数。

无理函数或根式函数的定义域

有根函数的定义域取决于根索引的奇偶性，即取决于根索引是偶数还是奇数。

具有偶数索引根的函数的域

众所周知，负数没有根（偶数索引）。因此，只要其内容等于或大于0，偶索引的根式函数就存在。

作为示例，让我们看看如何计算以下根式或无理函数的域：

$f(x)=\sqrt{x-4}$

这是一个激进的偶指数函数，所以我们必须看看它的内容何时为正或为零：

$x-4\ge 0$

我们解决不等式：

$x\ge 4$

因此，只要 x 大于或等于 4，该函数就会存在，并由以下区间表示：

$\text{Dom } f= [4,+\infty)$

根为奇数索引的函数的域

具有奇数索引的无理函数不存在此问题，因为存在负数的奇数索引根：

$\sqrt[3]{-8}=-2$

因此，对于任何x值，都存在奇索引的根函数。或者，换句话说，域仅由实数组成。

例如，我们将计算以下索引为奇数的根式函数的定义域：

$f(x)=\sqrt[3]{3x-4}$

由于它是一个具有奇数索引的无理函数，因此它的域由实数组成：

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

如何表示无理函数或激进函数

让我们通过示例了解如何在图形上表示具有根的函数。

在图上绘制以下根函数或无理函数：

$f(x)=\sqrt{x+2}$

首先要做的是找到函数的定义域。由于它是平方根，因此它包含的任何内容都必须是正数，因为负数不存在平方根。因此，只要根式函数的内容等于或大于0，根式函数就存在：

$x+2\ge 0$

$x\ge -2$

因此，函数的域由所有大于或等于 -2 的数字组成。也就是说：

$\text{Dom } f = [-2,+\infty)$

一旦我们知道了函数的域，我们就创建一个值表。显然，我们计算的点越多，函数的表示就越精确。但计算域区间内的 3 或 4 个点就足够了：

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=\sqrt{-2+2}= 0$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=\sqrt{-1+2}= 1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=\sqrt{2+2}= 2$

$x= 7 \ \longrightarrow \ f(7)=\sqrt{7+2}= 3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 7 & 3 \end{array}$

我们现在在图表上表示获得的点：

最后，我们连接这些点并延长曲线以表明函数继续增长：

解决了无理函数或激进函数的练习

练习1

求下列根式函数的定义域：

$\sqrt{3x+6}$

查看解决方案

负数的平方根不存在。因此，当根参数为正或零时，该函数将存在：

$3x+6 \ge 0$

$3x \ge -6$

$x \ge \cfrac{-6}{3}$

$x \ge -2$

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = [-2,+\infty)}$

练习2

求下列无理函数的定义域：

$\sqrt{-x+2}$

查看解决方案

负数的平方根没有实数解。因此，只要根的内容为正或零，该函数就存在：

$-x+2\ge 0$

$-x\ge -2$

$x\le\cfrac{-2}{-1}=2$

请记住，如果在不等式中我们改变乘法或除法负数的两边，我们还必须旋转不等式的符号。

$x\le2$

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = (-\infty,2]}$

练习3

在图上绘制以下无理函数：

$f(x)= \sqrt{x-1}$

查看解决方案

首先，我们必须计算函数的定义域：

$x-1\ge 0$

$x\ge 1$

$\text{Dom } f = [1,+\infty)$

现在我们通过给出域范围内的函数值来创建一个值数组：

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= \sqrt{1-1}=0$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)= \sqrt{2-1}=1$

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)= \sqrt{5-1}=2$

$x= 10 \ \longrightarrow \ f(10)= \sqrt{10-1}=3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 5 & 2 \\ 10 & 3 \end{array}$

最后，我们绘制点并将函数绘制在图上：

练习4

绘制以下无理函数或根式函数的图像：

$f(x)= -2\sqrt{x}+3$

查看解决方案

首先，我们必须计算函数的定义域：

$x\ge 0$

$\text{Dom } f = [0,+\infty)$

现在我们通过给出域范围内的函数值来创建一个值数组：

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)= -2\sqrt{0}+3=3$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)= -2\sqrt{1}+3=1$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)= -2\sqrt{4}+3=-1$

$x= 9 \ \longrightarrow \ f(9)= -2\sqrt{9}+3=-3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 3 \\ 1 & 1 \\ 4 & -1 \\ 9 & -3 \end{array}$

最后，我们绘制点并在图上绘制函数：

练习5

绘制以下无理函数或根式函数的图像：

$f(x)= \sqrt{-x+5}$

查看解决方案

在绘制函数之前，我们需要计算函数的域：

$-x+5\ge 0$

$-x\ge -5$

$x\le\cfrac{-5}{-1}=5$

请记住，如果在不等式中我们改变了乘法或除法负数的两边，我们也必须改变不等式的符号。

$x\le5$

$\text{Dom } f = (-\infty,5]$

现在我们通过在属于函数域的点处评估函数来构造一个值表：

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)=\sqrt{-5+5}=0$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=\sqrt{-4+5}=1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=\sqrt{-1+5}=2$

$x= -4 \ \longrightarrow \ f(-4)=\sqrt{-(-4)+5}=3$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 5 & 0 \\ 4 & 1 \\ 1 & 2 \\ -4 & 3 \end{array}$

最后，仅表示点并将函数绘制在图表上：

练习6

在图上绘制以下无理函数或根式函数：

$f(x)= \sqrt{x^2-5x+4}$

查看解决方案

我们首先要计算函数的定义域：

$x^2-5x+4\ge 0$

在这种情况下，我们得到了二阶不等式，因此我们需要应用二次方程公式来求解：

$x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1} = \cfrac{5\pm 3}{2} =\begin{cases} 4 \\[2ex] 1 \end{cases}$

我们将线分成三段并获得根：

我们用一个数字代替不等式的每个部分，看看哪些部分满足不等式，因此属于该域：

$x^2-5x+4\ge 0 \ \xrightarrow{x\ = \ 0} <img src="https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c214e08b91825263231bc6eddbbdee1_l3.png" height="54" width="404" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[0^2-5\cdot 0+4\ge 0 \ \longrightarrow \ 4\ge 0 $ ✅$x^2-5x+4\ge 0 \ \xrightarrow{x\ = \ 2}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> 2^2-5\cdot 2+4\ge 0 \ \longrightarrow \ -10\ \cancel{\ge } \ 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com”> ❌ <p class=$ $x^2-5x+4\ge 0 \ \xrightarrow{x\ = \ 5}$