方阵 - Mathority

在此页面上，我们解释什么是方阵，您将找到方阵的示例。此外，您还将看到方阵具有哪些属性、可以用它们完成的运算以及存在的不同类型。

什么是方阵？

方阵是a 行数与列数相同的矩阵。

方阵的例子

2 阶方阵

3 阶方阵

4 阶方阵

如您所见，方阵通常按阶数命名，即 2 阶方阵意味着它是维度 2×2（2 行 2 列）的矩阵，或者我们称之为 3 阶方阵这表明它的大小为 3×3（3 行 3 列）。

方阵的对角线

方阵的对角线有特定的名称，有主对角线和次对角线：

方阵的主对角线由从左上角到右下角的元素组成：

方阵的次对角线对应于从左下角到右上角的元素：

方阵的性质

方阵广泛应用于线性代数中，这就是它们如此重要的原因。那么让我们看看是什么特征使此类矩阵如此相关：

任何方阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和。

如果两个方阵的阶数相同，则它们可以相加或相减：

$\begin{pmatrix}5&2&-3\\[1.1ex] 1&9&7\\[1.1ex] 4&1&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&3&0\\[1.1ex] 8&6&-4\\[1.1ex] 1&3&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&5&-3\\[1.1ex] 9&15&3\\[1.1ex] 5&4&-3\end{pmatrix}$

两个方阵可以在两个可能的方向上相乘。但方阵的乘积是不可交换的，即乘法结果会根据乘在哪一边而改变。请注意以下示例中的结果如何取决于矩阵的位置：

$\begin{pmatrix}3&-1\\[1.1ex] 4&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5&2\\[1.1ex] 3&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12&5\\[1.1ex] 20&8\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}5&2\\[1.1ex] 3&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3&-1\\[1.1ex] 4&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}23&-5\\[1.1ex] 13&-3\end{pmatrix}$

方阵是唯一可以计算行列式的矩阵。因此，只有当行列式是方阵时才能求解。例如，要找到 3×3 方阵的行列式，您必须应用 Sarrus 规则：

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & 1 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 5 \cdot 1 \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot 2 \cdot 1 - 5\cdot 4 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \cdot 1 \\[2.5ex] & =2 -12 +0 +2-20-0 \\[2.5ex] & = -28 \end{aligned}$