方程点-直线的斜率

10 7 月, 2023

在此页面上，您将找到直线的点斜率方程的公式，以及计算它的不同方法。此外，您将能够看到几个示例并通过逐步解决的练习进行练习。

直线的点斜率方程的公式

直线的点斜率方程是数学表达直线的一种方式。特别是，您只需要直线上一点的斜率和坐标即可找到直线的点斜率方程。

直线的点斜率方程公式如下：

$y-y_0=m(x-x_0)$

金子

$m$

是直线的斜率，

$x_0, y_0$

是线上一点的坐标

$P(x_0,y_0).$

我们通过一个例子来看一下直线的点斜率方程是如何计算的：

写出经过该点的直线的点斜率方程
$P(2,-1)$

斜率m=3。

直线的点斜率方程公式如下：

$y-y_0=m(x-x_0)$

在这种情况下，该语句告诉我们直线的斜率是 m=3，因此直线的方程如下：

$y-y_0=3(x-x_0)$

此外，我们还知道直线经过点

$P(2,-1)$

，因此我们必须将该点的坐标代入方程：

$P(2,-1)$

$y-y_0=3(x-x_0) \ \xrightarrow{x_0=2 \ ; \ y_0=-1} \ y-(-1)=3(x-2)$

因此，直线的点斜率方程为：

$\bm{y+1=3(x-2)}$

请记住，除了点斜率方程之外，还有其他方法可以解析地表达直线：向量方程、参数方程、连续方程、隐式方程（或一般方程）和直线的显式方程。如果您更感兴趣，您可以在我们的网站上查看它们各自的内容。

直线的斜率是什么意思？

正如我们在直线的点斜率方程的定义中看到的，参数

$m$

是直线的斜率。但实际上……直线的斜率是什么意思？让我们从一条线的图形表示中看到这一点：

直线的点斜率方程是什么？

线的斜率表示其陡度。从图表中可以看出，

$m$

等于 2，因为 1 个水平单位，直线上升 2 个垂直单位。

显然，如果斜率为正，则函数增加（上升），反之，如果斜率为负，则函数下降（下降）。

如何计算直线的斜率

此外，有 3 种不同的方法可以用数值确定直线的斜率：

给定线上两个不同的点
$P_1(x_1,y_1)$

和

$P_2(x_2,y_2),$

直线的斜率等于：

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

是的
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

是直线的方向向量，其斜率为：

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

是的
$\alpha$

是直线与横坐标轴（X 轴）形成的角度，直线的斜率等于该角度的正切：

$m = \text{tg}(\alpha )$

直线的显式方程公式

线的相对位置

最后，一条线的斜率还可以用来了解多条线之间的关系。由于两条平行线具有相同的斜率，另一方面，如果一条线的斜率是另一条线的斜率的负倒数，则意味着这两条线是垂直的。

具有相同斜率的平行线

计算经过两点的直线的点斜率方程

一个非常常见的问题是从属于直线的两个点确定点斜率方程。我们通过一个例子看看是如何解决的：

求通过以下两点的直线的点斜率方程：

$P_1(5,2) \qquad P_2(3,6)$

为了找到直线的点斜率方程，我们需要确定直线的斜率是多少。因此，我们使用冒号公式计算直线的斜率：

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{6-2}{3-5} = \cfrac{4}{-2}= -2$

因此，直线的点斜率方程如下：

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=-2(x-x_0)$

因此，我们只需要将直线上一点的笛卡尔坐标代入方程即可：

$P_1(5,2)$

$y-y_0=-2(x-x_0) \ \xrightarrow{x_0=5 \ ; \ y_0=2} \ y-2=-2(x-5)$

$\bm{y-2=-2(x-5)}$

如果我们将陈述的另一点放入直线方程中也很好：

$P_1(3,6)$

$y-6=-2(x-3)$

从图中找出直线的点斜率方程

正如我们在上面几节中看到的，有多种方法可以用数值方法求出直线的点斜率方程。但是，也可以通过图形方式找到它。让我们通过一个例子看看这是如何完成的：

确定下图所示直线的点斜率方程：

一条线的图形表示

为了确定所画线的点斜率方程，我们需要找到它的斜率和线上的一个点。

在本例中，直线的斜率等于 3，因为每增加一个水平单位，直线就会上升 3 个垂直单位。

$m = 3$

接下来我们需要直线上的一个点。为此，我们可以选择图形上直线经过的任何点，例如点 (1,1)。

$P(1,1)$

因此，我们现在可以通过应用其公式找到直线的点斜率方程：

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-1=3(x-1)$

以图形方式确定直线方程点的斜率

已解决的点斜率方程问题

练习1

写出经过该点的直线的点斜率方程

$P(1,4)$

它的斜率是

$m=-2.$

查看解决方案

直线的点斜率方程的公式为：

$y-y_0=m(x-x_0)$

在这种情况下，该语句告诉我们直线的斜率是 m=-2，因此直线的方程如下：

$y-y_0=-2(x-x_0)$

此外，从陈述中我们还知道直线经过点

$P(1,4)$

，因此将点的坐标代入线的方程就足够了：

$P(1,4)$

$\bm{y-4=-2(x-1)}$

练习2

经过以下两点的直线的点斜率方程是什么？

$P_1(1,6) \qquad P_2(4,0)$

查看解决方案

为了找到直线的点斜率方程，我们需要确定直线的斜率是多少。因此，我们用公式计算直线的斜率：

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{0-6}{4-1} = \cfrac{-6}{3}= -2$

因此，直线的点斜率方程如下：

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=-2(x-x_0)$

因此，我们只需将直线上一点的坐标代入方程即可：

$P_1(1,6)$

$\bm{y-6=-2(x-1)}$

将陈述的另一点放入等式中也是正确的：

$y=-2(x-4)$

练习3

求通过以下两点的直线的点斜率方程：

$P_1(1,-2) \qquad P_2(2,3)$

查看解决方案

要找到直线的点斜率方程，必须首先计算其斜率：

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{3-(-2)}{2-1} = \cfrac{3+2}{1}=\cfrac{5}{1}= 5$

因此，直线的点斜率方程如下：

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=5(x-x_0)$

因此，我们只需将直线上一点的坐标代入方程即可：

$P_1(1,-2)$

$y-(-2)=5(x-1)$

$\bm{y+2=5(x-1)}$

将陈述中的另一点放在直线方程中也是正确的：

$y-3=5(x-2)$

练习4

计算与 X 轴形成 45° 角并通过坐标原点的直线的点斜率方程。

查看解决方案

如果直线与 OX 轴成 45 度角，则其斜率为：

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y-y_0=1(x-x_0)$

$y-y_0=x-x_0$

一旦我们知道了直线的斜率，我们就可以通过将直线上的一点代入方程来找到点斜率方程。另外，该语句告诉我们，直线经过坐标原点，这意味着它经过点(0,0)。然而：

$P(0,0)$

$y-y_0=x-x_0 \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=0} \ y-0=x-0$

因此，直线的点斜率方程为：

$\bm{y=x}$

练习5

求与直线平行的直线的点斜率方程

$r$

以及整个过程中会发生什么

$P(-1,-3).$

说直话

$r:$

$r: \; y-1=2(x+5)$

查看解决方案

线的斜率

$r$

等于 2（括号前的数字），并且要使两条线平行，它们必须具有相同的斜率，因此：

$m = 2$

$y-y_0=2(x-x_0)$

一旦我们知道了直线的斜率，我们只需将属于该直线的点的坐标代入公式即可：

$P(-1,-3)$

$y-(-1)=2(x-(-3))$

因此，直线的点斜率方程为：

$\bm{y+1=2(x+3)}$

练习6

确定下图所示每条线的点斜率方程：

逐步求解直线练习的显式方程

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蓝色右

蓝线每 X 增加一个 Y，因此其斜率等于 1。另一方面，它穿过点 (2,4)，因此：

$y-4 =x-2$

右绿色

绿线每 X 增加 3 个 Y，因此其斜率为 3。此外，其点之一为 (2,2)，因此：

$y-2 =3(x-2)$

红线

每增加一个 X，红线就会减少 2 个 Y，因此它的斜率是 -2。而点(0,-2)属于这条线，因此：

$y =-2(x+2)$

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