数字的阶乘函数

本页解释什么是数字的阶乘及其计算方法。此外,还提供了几个示例和一个包含最常用阶乘值的表格。它还教授如何使用计算器计算数字的阶乘。最后,说明了阶乘的应用和性质。

一个数的阶乘是什么?

在数学中,数字的阶乘等于从 1 到该数字的所有正整数的乘积。此外,数字的阶乘由数字后面的感叹号 (!) 表示。

一个数的阶乘

例如,要确定数字n的阶乘(也称为阶乘n ),您必须将数字n乘以它前面的所有整数(从 1 开始):

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n

如何计算数字的阶乘

一旦我们了解了数字阶乘的含义,让我们通过一个例子来看看如何确定任何阶乘:

  • 计算 4 的阶乘:

正如我们在其数学定义中看到的那样,数字的阶乘相当于所有小于或等于该数字的正整数的乘积。因此,要计算 4 的阶乘,我们需要将数字 1、2、3 和 4 相乘:

4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24

因此 4 的阶乘得到 24。

数字的阶乘示例

为了完成对数字阶乘概念的理解,我们给您提供一个计算不同数字的阶乘的示例:

  • 3 的阶乘:

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6

  • 5 的阶乘:

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120

  • 6 的阶乘:

6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720

  • 1 的阶乘:

1! = 1

从逻辑上讲,数字 1 的阶乘等于 1,因为乘以 1 就足够了。

  • 0 的阶乘:

0! = 1

是的,好吧,令人惊讶的是,0 的阶乘不等于 0,而是等于 1。这对你来说可能有点奇怪,因为理论上你必须将 0 乘以 1。但是,按照惯例,0! =1,因为产品属性为空。我们给您留下这个链接,以防您想了解更多信息,尽管您知道原因并不真正相关,但重要的是您记住0 的阶乘等于 1

数字阶乘的结果列表

下面我们在表格中总结了最常用数字的阶乘,因此您不必手动计算它们。

号码 数字的阶乘
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
3,628,800
十一 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87 178 291 200
十五 1,307,674,368,000
16 20,922,789,888,000
17 号 355,687,428,096,000
18 6,402,373,705,728,000
19 121,645,100,408,832,000
二十 2,432,902,008 176,640,000
五十 3,041,409,320 · 10.64
100 9,332 621,544 · 10,157
1,000 4,023,872,601· 10.2567
10,000 2,846,259,681 · 10,35,659
100,000 2 824 229 408·10 45 6573
1,000,000 8,263,931,688·10 5,565,708

用计算器计算数字的阶乘

正如您在前面的示例中所看到的,两个连续数字的阶乘结果呈指数级增长,这就是为什么要知道大数的阶乘相当困难。因此,我们将向您展示如何使用计算器求数字的阶乘。

科学计算器有一个带有x 符号的键!n!用于计算整数的阶乘。因此,要确定阶乘的价值,您必须在计算器上执行以下序列:

n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}

通常,CASIO 计算器有阶乘键 x!n! x -1按钮上方。

例如,我们将使用计算器求解阶乘,以便您可以检查您是否知道如何执行此操作。例如,我们将计算 9 的阶乘:

9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880

要求 9 的阶乘,必须先输入数字 9,然后按 键

\boxed{x!}

最后,按等于按钮。在这种情况下,计算器应该向我们显示结果 362,880。

阶乘数的应用

数字的阶乘函数可能看起来是一个非常简单和荒谬的运算,但在高级代数中它被大量使用。然后我们将看到阶乘的主要用途。

首先,阶乘是计算组合数的基本运算,是一种更特殊的运算。如果您不知道组合数是什么,您可以在此链接中查看它的组成以及它的计算方式,您可以在其中找到示例、已解决的练习及其属性。此外,您将能够看到它的用途,因为它有许多实际应用程序。

阶乘还在数学中用于确定函数的泰勒多项式。

同样,阶乘用于解决某些组合问题,特别是计算组合和排列。从这个意义上说,阶乘也经常用于使用组合数学来计算概率。

n 个元素的排列对应于可以用这些元素进行的每种不同排列。因此,为了计算排列,需要使用阶乘。例如,如果在一个问题中您想要找到 7 个对象可以排列的可能性数量,则必须计算 7 的阶乘。

现在让我们看一个已解决的练习:

  • 我们有 5 双不同的鞋子,我们有多少种排列方式?

在这个练习中,我们必须考虑到我们放置这 5 双鞋的顺序,找出所有可能的组合方式。因此,要解决这个问题,您只需计算 5 的阶乘:

5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120

简而言之,5双鞋可以有120种不同的摆放方式。

阶乘数的性质

阶乘数具有以下特点:

  • 为两个正整数nmn大于m ,则显然n的阶乘值大于m的阶乘值。

n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”15″ width=”183″ style=”vertical-align: -2px;”></p>
</p>
<ul style=

  • 一个数的阶乘可以被阶乘分解,使得其中一个因子是较小数的阶乘。
  • n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”361″ style=”vertical-align: -5px;”></p>
</p>
<p>例如,6 大于 4,因此 6 的阶乘表达式可以简化如下:</p>
</p>
<p class=6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!

    • 以下代数表达式对于任何数字的阶乘都有效,但 1 的阶乘除外:

    \displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n

    负数或小数的阶乘

    我们刚刚看到了如何求正整数的阶乘值,但是……我们可以计算负数或小数的阶乘吗?答案是肯定的,但需要先进的数学知识。

    负数和小数的阶乘是使用称为欧拉“伽玛函数”的特殊函数计算的,该函数由以下积分定义:

    \displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t

    因此,任何类型的阶乘都可以使用 Gamma 函数求解,因为以下方程始终为真:

    n! = \Gamma(n+1)

    例如,要找到 0.5 的阶乘,我们必须找到

    \Gamma(1,5)

    因为:

    0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)

    积分的解将对应于 0.5 的阶乘。

    显然,求解 Gamma 函数的积分并不容易,我们在本文中不会教授它,因为许多数学概念必须事先解释。但我们想让您知道,可以计算负数或小数的阶乘。

    事实上,作为一个例子,我们计算了一些负的阶乘和小数值:

    \underline{\bm{n}}

    \underline{\bm{n!}}

    \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!

    \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}

    \displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!

    \displaystyle \sqrt{\pi}

    \displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!

    \displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}

    \displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!

    \displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}

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