平行向量 - Mathority

在此页面上，您将找到有关平行向量的所有内容：它们的含义，当两个向量平行时，如何找到与另一个向量平行的向量，此类向量的属性，…此外，您将能够看到几个示例和已解决的并行向量练习。

什么是平行向量？

平行向量是具有相同方向的向量。换句话说，如果两个向量包含在两条平行线中，则它们是平行的。因此，两个平行向量之间的角度为 0 度或 180 度。

例如，以下三个向量是平行的：

此外，两个向量的平行度仅取决于它们的方向。也就是说，无论方向相同还是方向相反，两个向量只要方向一致，就平行。同样的事情也发生在模数（或幅度）上，两个向量可以具有不同的模数并且是平行的。

另一方面，当两个向量具有相同但相反的方向时，它们被称为反平行向量。

如何知道两个向量是否平行？

当两个向量成比例时，它们是平行的。因此，要知道两个向量是否平行，我们需要确定它们各自的分量是否成比例。

我们将了解如何通过两个不同的已解决练习来了解两个向量是否平行，一个使用具有 2 个坐标的向量，另一个使用具有 3 个坐标的向量。

平行于平面的向量示例（在 R2 中）

判断下列两个向量是否平行：

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

要知道它们是否真的是平行向量，我们必须看看它们的笛卡尔坐标是否成比例：

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

将 X 分量和 Y 分量相除会得到相同的结果 (-2)，因此这两个向量成比例，因此也是平行的。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

请注意，在数学中，当两个几何元素平行时，由两个竖线 (II) 表示。

空间中平行向量的示例（在 R3 中）

判断以下两个向量是否满足并行条件：

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

为了确定它们是否确实是平行向量，我们必须检查向量的坐标是否成比例：

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

向量的 X 分量和 Y 分量彼此成正比，因为通过将它们相除我们得到相同的结果，但另一方面，它们与 Z 分量不成正比。因此，矢量不与所有矢量成正比，因此它们不平行。

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

如何计算平行向量？

要找到与另一个向量平行的向量，只需将其乘以零 (0) 以外的标量（实数）即可。因此，有无数个彼此平行的向量，因为向量可以乘以无数个数字。

例如，我们将计算以下向量的几个平行向量：

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

以下所有乘积的结果都是与前一个向量平行的向量：

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

平行向量的性质

平行向量具有以下特点：

自反性：每个向量都与其自身平行。

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

对称性：如果一个向量与另一个向量平行，则该向量也与第一个向量平行。垂直向量也具有这个性质。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

传递性：如果一个向量与另一个向量平行，并且第二个向量与第三个向量平行，则第一个向量也与第三个向量平行。

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

两个平行向量的点积等于它们的模的乘积。您可以在点积属性中检查为什么会发生这种特殊情况。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

两个平行向量始终线性相关。这个概念相当重要，所以如果你不知道的话，可以参考什么是两个线性相关向量。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$