对角矩阵 - Mathority

在此页面上，您将看到什么是对角矩阵以及对角矩阵的示例。此外，您还将了解如何使用此类矩阵、如何轻松计算其行列式以及如何对它们求逆。还有对角矩阵的性质和应用。最后，还有双对角矩阵和三对角矩阵的解释。

什么是对角矩阵？

对角矩阵是一个方阵，其中不在主对角线上的所有元素均为零 (0)。主对角线的元素可能为零，也可能不为零。

一旦我们知道对角矩阵的确切定义，我们将看到对角矩阵的示例：

对角矩阵的示例

维度为 2 × 2 的对角矩阵的示例

3×3 阶对角矩阵的示例

大小为 4×4 的对角矩阵的示例

这些类型的矩阵通常表示对角线的元素：

$diag(2,5,1) = \left. \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 5 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

对角矩阵的运算

对角矩阵对于线性代数如此重要的原因之一是它们可以让您轻松执行计算。这就是它们在数学中如此广泛使用的原因。

对角矩阵的加法和减法

两个对角矩阵相加（或相减）非常简单：只需将对角线上的数字相加（或相减）即可。

$\displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \pm \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\pm b_1,..., a_n\pm b_n)$

例如：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6& 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

对角矩阵乘法

要求解两个对角矩阵的乘法或矩阵乘积，只需将对角线的元素相乘即可。

$\displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \cdot \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\cdot b_1,..., a_n\cdot b_n)$

例如：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -18 \end{pmatrix}$

对角矩阵的幂

要计算对角矩阵的幂，我们需要对角矩阵的每个元素求指数：

$\displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)$

$\displaystyle A^k= \text{diag}(a_1^k,... ,a_n^k)$

例如：

$\displaystyle\left. \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\right.^3= \begin{pmatrix} 27 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 64 \end{pmatrix}$

对角矩阵的行列式

对角矩阵的行列式是主对角线上元素的乘积。

$\displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)$

$\displaystyle \text{det}(A)= \prod_{i =1}^n a_i$

看一下下面已解决的练习，其中我们只需将其主对角线的元素相乘即可找到对角矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$

这个定理很容易证明：你只需要通过块（或辅因子）计算对角矩阵的行列式即可。下面使用通用对角矩阵详细介绍了该演示：

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & b & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & c \end{vmatrix}& = a \cdot \begin{vmatrix} b & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\[1.1ex] 0 & 0 \end{vmatrix} \\[2ex] & =a \cdot (b\cdot c) - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\[2ex] & = a \cdot b \cdot c \end{aligned}$

反转对角矩阵

当且仅当主对角线的所有元素都不为 0 时，对角矩阵才是可逆的。在这种情况下我们说对角矩阵是正则矩阵。

此外，对角矩阵的逆矩阵将始终是另一个具有主对角线的逆矩阵的对角矩阵：

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$