在此页面上，您将了解如何计算两个向量之间的角度。此外，您还将看到示例，并可以通过练习和逐步解决的问题进行练习。
两个向量之间的角度公式
如果我们还记得 点积 的定义，则可以使用以下等式进行计算：
从这个等式我们可以得到一个公式，它可以帮助我们直接找到两个向量形成的角度：
两个向量形成的角度的余弦等于两个向量之间的点积除以两个向量的模的乘积。
换句话说，确定两个向量形成的角度的公式如下：
因此，要找到两个向量形成的角度，了解如何计算向量的大小至关重要。在此链接中，您将找到向量模的公式、示例和已解决的练习，因此，如果您尚未掌握此向量运算，我们建议您看一下。
该公式适用于平面（R2 中）和空间（R3 中）。也就是说，我们可以将它互换地用于二分量或三分量向量。
然而，有时没有必要应用这个公式，因为可以推导出向量之间的角度：
- 两个垂直向量（方向相同）之间的角度为 0°。
- 两个正交（或垂直）向量之间的角度为 90°。
如何查找两个向量之间的角度的示例
例如，我们将计算以下两个向量形成的角度：
我们首先要计算每个向量的模：
我们现在使用公式来计算两个向量之间的角度的余弦：
最后，我们通过使用计算器求余弦的倒数来找到相应的角度：
因此，两个向量形成 81.95° 的角度。
解决了向量之间角度的练习
练习1
计算以下两个向量之间的角度：
首先，我们必须计算两个向量的模：
我们使用以下公式计算向量形成的角度的余弦：
最后，我们用计算器求余弦的倒数，求出对应的角度：
练习2
确定以下两个向量之间存在的角度：
首先我们需要找到向量的模：
我们使用以下公式来获取向量所具有的角度的余弦：
最后，我们通过计算器求余弦的倒数来找到相应的角度：
练习3
计算值
使得以下向量互相垂直：
两个垂直向量形成 90° 角。然而：
分数的分母除以方程的整个右侧，因此我们可以将其乘以另一侧：
现在我们求解点积：
最后，我们揭开谜底：
练习4
找到常量应该具有的值
和
使得以下向量是垂直的，此外，这是正确的
我们将首先使用模条件来找到值
我们将方程两边同时求除平方根：
我们揭开谜底：
一旦我们知道了
，求出值
通过应用两个向量的角度公式，由于该陈述告诉我们它们必须垂直，或者等效的，它们必须形成 90°。
分数的分母除以方程的整个右侧，因此我们可以将其乘以另一侧：
现在让我们尝试求解点积：
最后，我们揭开谜底：
练习5
计算角度
和
形成以下三角形的边：
组成三角形的顶点是以下点：
要计算三角形的内角，我们可以计算其每条边的向量，然后使用点积公式找到它们形成的角度。
例如，求角度
我们计算它的边的向量：
我们使用标量积公式求出两个向量形成的角度：
现在我们重复相同的过程来确定角度
最后，为了找到最后一个角度，我们可以重复相同的过程。然而，三角形中的所有角之和必须为 180 度，因此：
