垂直线（垂直度）-

在此页面上，您将找到有关垂直线的所有内容：它们是什么、两条线何时垂直、如何计算与另一条线垂直的线、其属性……此外，您将能够看到示例，并且能够练习逐步解决的练习。

两条垂直线是什么？

在数学中，当两条直线相交于一点形成四个相等的直角 (90°) 时，它们就是垂直的。

此外，两条垂直线的方向向量也必须垂直。

两条直线的垂直度一般用符号表示

$\perp .$

另一方面，请记住，在平面中，两条线之间的相对位置概念有 4 种可能性：两条线可以割线、垂直、重合或平行。如果需要，您可以在我们的网站上查看每种线型的含义。

如何知道两条直线是否垂直？

有两种方法可以根据方向向量或斜率来确定两条线何时垂直。下面对这两种方法进行了说明，尽管它们具有相同的目的，但我们建议您知道如何执行这两种方法，因为每种方法都取决于线条的表达方式。

从线的方向向量

知道两条线何时垂直的一种方法是使用相关线的方向向量。请记住，方向向量是指示直线方向的向量。

两条垂直线的方向矢量也相互正交。因此，如果两条直线的方向向量的点积等于0，则表示两条直线垂直。

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s =0 \quad \longrightarrow \quad r \perp s$

让我们通过一个例子来看看如何确定两条线的垂直度：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=3-2t \\[2ex] y=6+3t \end{cases}\qquad \qquad s: \ \begin{cases} x=4+3t \\[2ex] y=-2+2t \end{cases}$

两条线都表示为参数方程，因此每条线的方向向量的分量就是参数前面的数字

$t:$

$\vv{\text{v}}_r =(-2,3) \qquad \qquad \vv{\text{v}}_s=(3,2)$

一旦我们知道了每条线的方向向量，我们就可以通过计算向量之间的乘积来检查它们是否垂直：

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s = (-2,3)\cdot (3,2) = -2\cdot 3 +3\cdot 2= \bm{0}$

两个向量的点积为零，因此直线是垂直的。

线斜率

确定两条线是否垂直的另一种方法是使用它们的斜率。请记住，直线的斜率是系数

$m$

直线的显式方程和点斜率方程。

$y=mx+n \qquad \qquad y-y_0=m(x-x_0)$

并且直线的斜率也可以从系数获得

$A$

和

$B$

直线的隐式（或一般）方程：

$Ax+By+C= 0 \ \longrightarrow \ m = -\cfrac{A}{B}$

因此，两条垂直线的斜率是相反的且符号相反，也就是说始终满足以下等式：

$r \perp s \quad \longrightarrow \quad m_r=-\cfrac{1}{m_s}$

因此，如果两条不同直线的斜率的乘积等于 -1，则意味着这些直线是垂直的：

$m_r\cdot m_s=-1\quad \longrightarrow \quad r \perp s$

例如，下面的两条直线是垂直的：

$r: \ y=2x+4 \qquad \qquad s: \ y=-\cfrac{1}{2} \ x-5$

我们可以证明它们是从斜率彼此垂直的两条线。每条线的斜率是：

$m_r = 2 \quad \quad m_s=-\cfrac{1}{2}$

现在我们乘以斜率：

$\displaystyle 2 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right) = -\cfrac{2}{2} = \bm{-1}$

两个斜率之间的乘积等于-1，这实际上意味着两条线彼此垂直。

如何计算一条线与另一条线的垂直度？

虽然看起来很难做到，但找到一条垂直于另一条线的线非常简单，为此，您只需要一个垂直于该线的方向向量和一个属于该线的点。

唯一的困难是，和以前一样，该过程取决于表达直线的方程类型。因为一条垂直于另一条线的线可以根据方向向量或斜率来计算。

从右边的方向向量

可以使用其方向向量找到与另一条给定线垂直的线。让我们通过一个例子来看看这是如何完成的：

计算与该线垂直的线
$r$

什么经过该点

$P(5,-1)$

。说直话

$r:$

$\displaystyle r : \ 3x+2y-1=0$

我们需要做的第一件事是确定直线的方向向量。在这种情况下，直线以一般（或隐式）方程的形式定义，因此，可以通过直线的系数A和B获得直线的方向向量的笛卡尔坐标：

$\vv{\text{v}}_r =(-B,A)=(-2,3)$

一旦我们知道了直线的方向向量，我们就必须计算垂直于它的向量。为此，只需插入向量的坐标并更改其中之一的符号（您想要的）：

$\vv{\text{v}}_\perp =(3,2)$

现在我们知道了直线的方向向量。因此，该直线的隐式方程如下：

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=-3 \end{array}$

$Ax+By+C \ \longrightarrow \ 2x-3y+C=0$

因此，确定参数C就足够了。为此，我们将属于直线的点代入其方程并求解所得方程：

$P(5,-1)$

$2x-3y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 2\cdot 5-3\cdot (-1)+C=0$

$10+3+C=0$

$13+C=0$

$C=-13$

综上，垂线方程为：

$\bm{2x-3y-13=0}$

从线的斜率来看

找到与某条线垂直的线的另一种方法是根据其斜率。我们通过一个例子来看看这类问题是如何解决的：

计算与该线垂直的线
$r$

什么经过该点

$P(0,1)$

。说直话

$r:$

$\displaystyle r : \ y=4x-3$

线的斜率

$r$

东方：

$m_r = 4$

一旦我们知道了直线的斜率，我们就需要找到垂直线的斜率。正如我们在上面的部分中看到的，两条垂直线的斜率是相反的，并且它们的符号发生了变化。因此，要确定垂直线的斜率，我们需要反转找到的斜率并更改其符号：

$m_\perp =-\cfrac{1}{4}$

因此，垂直线的显式方程如下：

$y= mx+n$

$y=-\cfrac{1}{4} \ x + n$

最后，我们将垂线原点的坐标代入直线方程，计算出垂线原点的纵坐标：

$P(0,1)$

$y=-\cfrac{1}{4} \ x + n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=1} \ 1 =-\cfrac{1}{4}\cdot 0 + n$

$1 = n$

简而言之，垂线的方程为：

$\bm{y=-}\mathbf{\cfrac{1}{4}} \ \bm{x + 1}$

垂直线的性质

所有垂直线都具有以下特征：

对称关系：如果一条线垂直于另一条线，则该线也垂直于第一条线。

$r \bm{\perp} s \ \longrightarrow \ s \bm{\perp} r$

非自反性质：显然，没有一条直线可以垂直于自身。

$r \ \cancel{\bm{\perp}}} \ r$

定理：在欧几里得几何中（在 R2 中），任何垂直于第三条线的线对必须平行。也就是说，如果一条线垂直于另一条线并且该线也垂直于第三条线，则第一条线和最后一条线平行。

解决了垂直线的问题

练习1

下列哪条直线与该直线垂直

$r: y=3x+4$

？

$a : \ y=3x-\cfrac{1}{3}$

$b : \ y=-\cfrac{1}{3} \ x+5$

$c : \ y=-4x-3$

$d : \ y=\cfrac{1}{3} \ x-5$

$e : \ y=-\cfrac{1}{3} \ x-2$

查看解决方案

线的斜率

$r$

是 3：

$m_r=3$

两条垂直线的斜率相反且符号相反，因此垂直于该线的任何直线的斜率

$r$

必须是：

$m_\perp=-\cfrac{1}{3}$

使直线与直线垂直

$r$

是那些斜率等于

$-\cfrac{1}{3}$

。也就是说，这些行

$\bm{b}$

和

$\bm{e}.$

练习2

判断下列两条直线是否垂直：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4-t \\[2ex] y=1-3t \end{cases}\qquad \qquad s: \ \cfrac{x-2}{4} = \cfrac{y+3}{6}$

查看解决方案

正确的

$r$

以参数方程的形式表示，使得该直线的方向向量的分量为参数前面的数字

$t:$

$\vv{\text{v}}_r =(-1,-3)$

另一方面，直线

$s$

是用连续方程的形式定义的，所以它的方向向量的坐标就是分母的数字：

$\vv{\text{v}}_s =(4,6)$

一旦我们知道了每条线的方向向量，我们就可以通过计算两个向量的乘积来检查它们是否垂直：

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s = (-1,-3)\cdot (4,6) = -1\cdot 4 + (-3)\cdot 6= -22 \bm{\neq 0}$

两个向量的点积不为零，因此直线不垂直。

练习3

找到与该线垂直的线

$r$

什么经过该点

$P(-2,1)$

。说直话

$r:$

$\displaystyle r : \ 4x-y+5=0$

查看解决方案

我们需要做的第一件事是确定直线的方向向量。在这种情况下，直线以一般（或隐式）方程的形式定义，因此其方向向量为：

$\vv{\text{v}}_r =(-B,A)=(1,4)$

一旦我们知道了直线的方向向量，我们就需要计算垂直于它的向量。为此，只需插入向量的坐标并更改其中之一的符号（您想要的）：

$\vv{\text{v}}_\perp =(4,-1)$

因此，该直线的隐式方程如下：

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (4,-1) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=-1 \\[2ex] B=-4 \end{array}$