周长方程

在此页面上,您将找到有关圆周方程的所有内容:普通方程、一般方程、其他类型的圆周方程、何时圆周方程正确……此外,您还将看到如何找到方程的示例圆周,您可以通过已解决的练习进行练习。

普通圆方程

在了解什么是周长方程之前,我们先回顾一下周长的概念:

圆周是平面上与称为中心的固定点等距的点的轨迹。

圆的方程是什么

因此,圆上的所有点到圆心的距离都相同。

此外,圆是与椭圆、抛物线和双曲线一起的四个圆锥曲线之一。即用平行于底面的平面切割圆锥体即可得到圆。

在笛卡尔平面中描述圆的最简单方法是根据其普通方程。因此,周长常方程的公式如下:

圆的普通方程为:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

金子:

  • r

    是圆的半径。

  • a

    b

    是圆心的坐标:

    C(a,b)

虽然我们不会演示它,因为它有点乏味,但这个方程可以从毕达哥拉斯定理得到。

我们通过一个例子来看看圆的常方程是如何计算的:

  • 求以该点为圆心、半径为5的圆的常方程

    C(3,-1).

圆的普通方程的公式为:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

因此,我们只需要用未知数来代替

r

由半径值和未知数

a

b

分别由圆心的 X 和 Y 坐标:

(x-3)^2+(y-(-1))^2=5^2

所以圆的普通方程为:

\bm{(x-3)^2+(y+1)^2=25}

圆的一般方程

另一种圆周方程是一般方程,实际上它是最常用的。然后我们将看到如何从任何圆周的常方程中获得其一般方程。

考虑圆的普通方程:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

如果我们开发出卓越的等式(或卓越的产品):

x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2

x^2-2ax+y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0

现在我们对变量进行 3 处更改:

A=-2a \qquad B=-2b \qquad C=a^2+b^2-r^2

最终我们得到圆周的一般方程:

x^2+y^2+Ax+By+C=0

因此,周长一般方程的公式为:

x^2+y^2+Ax+By+C=0

其中圆心是:

\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)

圆的半径为:

\displaystyle r=\sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C}

所以这个圆周方程总是由普通方程得到。下面是一个例子来看看它是如何完成的:

  • 求以该点为圆心、半径为6的圆的一般方程

    C(2,4).

首先我们需要找到圆的普通方程。为此,我们使用他的公式:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

(x-2)^2+(y-4)^2=6^2

现在我们进行操作,直到找到圆周的一般方程,也就是说,直到我们无法再简化:

x^2+2^2-2\cdot x \cdot 2+y^2+4^2-2\cdot y \cdot 4=36

x^2+4-4x+y^2+16-8y=36

x^2-4x+y^2-8y+4+16-36=0

x^2-4x+y^2-8y-16=0

所以圆的一般方程为:

\bm{x^2+y^2-4x-8y-16=0}

虽然问题没有要求,但我们现在可以计算找到的方程的圆心和半径来验证它是否正确。

为了确定圆的中心,我们使用它的公式:

\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)

\displaystyle C\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{-8}{2}\right)

\displaystyle C\bigl(-(-2), -(-4)\bigr)

\displaystyle C\left(2,4\right)

事实上,圆心与声明的中心重合。

我们还用公式检查圆周的半径:

\displaystyle \begin{aligned} r & = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C} \\[2ex] & =\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 +\left(\frac{-8}{2}\right)^2-(-16)} \\[2ex] & =\sqrt{\left(-2\right)^2 +\left(-4\right)^2+16} \\[2ex] &= \sqrt{4+16+16} \\[2ex] &= \sqrt{36} \\[2ex] & = 6 \end{aligned}

并且半径也等于语句的半径。因此,计算出的周长方程是正确的。

圆周的存在性

所有方程的形式为

x^2+y^2+Ax+By+C=0

对应一个圆。因此,要使此类表达式真正成为圆方程,必须满足以下 3 个条件:

  1. 的系数

    x^2

    和的

    y^2

    它们必须等于 1。请记住,如果两个变量前面都有一个不是 1 的数字,但它们具有相同的数字,则整个方程可以除以该数字,以便它们的系数为 1。

  2. 方程不能有项

    xy.

  3. 以下表达式必须为正:
  4. \displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
</ol>
<h2 class=其他类型的圆方程

    我们见过的两个圆方程,即普通方程和一般方程,最常用于在数学上表达平面上的圆(在 R2 中)。然而,有几种类型的方程来描述这个几何对象,下面是每种方程的解释。

    圆的正则方程

    圆的正则方程或简化方程用于描述其中心位于坐标原点(即点 (0,0))的任何圆。所述方程如下:

    x^2+y^2=r^2

    另外,如果半径等于单位(1),则周长方程将为:

    x^2+y^2=1

    最后一个方程对应于测角周长,也称为单位周长或单位圆。它是以坐标原点为圆心、半径为 1 的圆。

    两个同心圆的方程

    两个同心方程是中心在同一点的方程。两个同心圆唯一不同的是半径。

    因此,要满足这个条件,两个同心圆的方程除了独立项必须不同之外,完全相同。

    x^2+y^2+Ax+By+C=0

    x^2+y^2+Ax+By+C'=0

    例如,以下两个圆是同心的,因为除了独立项之外,它们的所有系数都相同:

    x^2+y^2+3x-4y+1=0

    x^2+y^2+3x-4y+5=0

    圆的参数方程

    与直线一样,圆的方程也可以用正弦和余弦的三角函数来参数化。因此,圆的参数方程为:

    \diplaystyle \begin{cases}x= a + r \cdot \text{cos}(t) \\[2ex] y= b + r\cdot \text{sen}(t)\end{cases} \qquad t\in[0,2\pi)

    点在哪里

    (a,b)

    是圆的中心并且

    r

    这是你的部门。

    解决了圆的方程问题

    练习1

    计算以点为圆心、半径为5的圆的一般方程

    C(-1,2).

    要求圆的一般方程,首先要求它的常方程。为此,我们使用圆的普通方程的公式:

    (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

    (x-(-1))^2+(y-2)^2=5^2

    (x+1)^2+(y-2)^2=25

    一旦我们知道了普通方程,我们就可以找到圆的一般方程:

    x^2+1^2+2\cdot x \cdot 1+y^2+2^2-2\cdot y \cdot 2=25

    x^2+1+2x+y^2+4-4y=25

    x^2+2x+y^2-4y+1+4-25=0

    x^2+2x+y^2-4y-20=0

    所以圆的一般方程为:

    \bm{x^2+y^2+2x-4y-20=0}

    练习2

    对于以下每个圆,找到其圆心的坐标和半径的长度。

    \text{A)}\ (x-2)^2+(y+5)^2=36

    \text{B)}\  x^2+y^2+8x-10y+1 = 0

    \text{C)}\ x^2+y^2=4

    周长A)

    (x-2)^2+(y+5)^2=36

    周长以常方程的形式表示,其公式为:

    (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

    因此,圆心坐标为:

    C(a,b)

    \bm{C(2,-5)}

    其半径为:

    r^2=36

    \bm{r=6}


    周长 B)

    x^2+y^2+8x-10y+1 = 0

    该周长以一般方程的形式表示,因此要计算其中心的坐标,必须使用以下公式:

    \displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)

    \displaystyle C\left(-\frac{8}{2}, -\frac{-10}{2}\right)

    \displaystyle C\bigl(-4, -(-5)\bigr)

    \displaystyle \bm{C(-4, 5)}

    另一方面,求圆半径的公式是:

    \displaystyle \begin{aligned} r & = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C} \\[2ex] & =\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 +\left(\frac{-10}{2}\right)^2-1} \\[2ex] & =\sqrt{\left(4\right)^2 +\left(-5\right)^2-1} \\[2ex] &= \sqrt{16+25-1} \\[2ex] &= \bm{\sqrt{40}} \end{aligned}

    周长C)

    x^2+y^2=4

    周长以常方程的形式表示,其公式为:

    (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

    因此,圆心坐标为:

    C(a,b)

    在这种情况下,方程没有项。

    a

    两者都不

    b,

    因此它以坐标原点为中心:

    \bm{C(0,0)}

    其半径为:

    r^2=4

    \bm{r=2}

    练习3

    下列哪个方程是圆的方程?

    \text{A)}\ x^2+y^2+4x-6y-1=0

    \text{B)}\  x^2+y^2+5x+5y+2xy-4 = 0

    \text{C)}\ 2x^2+2y^2-8x+4y+2=0

    \text{D)}\ x^2+y^2+x+2y+6=0

    对于圆方程的表达式,必须满足以下条件:

    1.系数

    x^2

    和的

    y^2

    它们必须等于 1。
    2.方程不能有项

    xy.

    3.

    \displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=因此,我们必须验证每个方程是否满足这三个条件。


    方程A)

    x^2+y^2+4x-6y-1=0

    的系数

    x^2

    y^2

    为 1 并且方程没有项

    xy.

    因此,检查第三个条件就足够了:

    \displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{-6}{2}\right)^2-(-1)>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”216″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle 2^2+\left(-3\right)^2+1>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”146″ style=”vertical-align: -5px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle 4+9+1>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”103″ style=”vertical-align: -2px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle 14>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”49″ style=”vertical-align: -2px;”></p>
</p>
<p class=该方程满足3个条件,故为圆方程。


    方程 B)

    x^2+y^2+5x+5y+2xy-4 = 0

    该方程有一个项

    xy,

    其中方程不对应于圆。


    方程C)

    2x^2+2y^2-8x+4y+2=0

    的系数

    x^2

    y^2

    不是 1,但我们可以通过除以所有项来变换方程:

    x^2+y^2-4x+2y+1=0

    这样现在的系数

    x^2

    y^2

    是的,它们是 1,而且,方程没有项

    xy.

    因此我们只需验证第三个条件:

    \displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{2}\right)^2+1>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”189″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle (-2)^2+\left(1\right)^2+1>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”158″ style=”vertical-align: -5px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle 4+1+1>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”103″ style=”vertical-align: -2px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle 6>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”42″ style=”vertical-align: -2px;”></p>
</p>
<p class=该方程满足3个条件,故为圆方程。


    方程 D)

    x^2+y^2+x+2y+6=0

    的系数

    x^2

    y^2

    为 1 并且方程没有项

    xy.

    因此,检查第三个条件就足够了:

    \displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{2}\right)^2-6>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”175″ style=”vertical-align: -17px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle 0,25+1-6>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”128″ style=”vertical-align: -4px;”></p>
</p>
<p class=\displaystyle -4,75 \ \cancel{>} \ 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”82″ style=”vertical-align: -4px;”></p>
</p>
<p class=该方程不满足最后一个条件,因此它不是圆的方程

    练习4

    确定经过下列三点的圆的方程:

    A(0,0) \quad B(3,0) \quad C(2,-2)

    任意圆的一般方程为:

    x^2+y^2+Ax+By+C=0

    因此,我们需要将点的坐标代入圆方程来求参数

    A,

    B

    C.

    通过第一点我们找到系数

    C:

    A(0,0) \ \longrightarrow \ 0^2+0^2+A\cdot 0 +B\cdot 0+C=0 \ \longrightarrow \ \bm{C = 0}

    根据第二点我们求出系数

    A:

    \begin{aligned}A(3,0) \ \longrightarrow  \ & 3^2+0^2+A\cdot 3 +B\cdot 0+C=0  \\[2ex] & 9+A\cdot 3  =0\\[2ex]&  \bm{A=-3} & \end{aligned}

    从第三点我们求出系数

    B:

    \begin{aligned} A(2,-2) \ \longrightarrow  \ & 2^2+(-2)^2+A\cdot 2 +B\cdot (-2)+C=0 \\[2ex] & 4+4+(-3)\cdot 2+ B\cdot (-2)+0=0 \\[2ex] & 8-6-2B=0 \\[2ex] & \bm{B=1} \end{aligned}

    总之,周长的一般方程为:

    \bm{x^2+y^2-3x+y=0}

    练习5

    如果圆的两端是以下两点:

    A(2,3) \qquad B(6,-1)

    圆的普通方程是什么?

    如果这两点是圆的端点,则圆心将是这两点之间的中点:

    \displaystyle C\left(\frac{2+6}{2} , \frac{3+(-1)}{2} \right)

    \displaystyle C\left(\frac{8}{2} , \frac{2}{2} \right)

    \displaystyle C\left(4,1 \right)

    另一方面,圆的直径将是两点之间的距离,可以使用两点形成的矢量的大小来计算:

    \vv{AB} = B-A=(6,-1) - (2,3) = (4,-4)

    d = \lvert \vv{AB} \rvert =\sqrt{4^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}

    圆的半径是直径的一半:

    r = \cfrac{\sqrt{32}}{2}

    因此,圆的普通方程为:

    (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

    \displaystyle (x-4)^2+(y-1)^2=\left(\frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2

    \displaystyle \bm{(x-4)^2+(y-1)^2=}\frac{\bm{32}}{\bm{4}}

    最后,如果本文对您有用,您肯定也会对我们的双曲线(数学)抛物线(数学)页面感兴趣。您将找到关于双曲线和抛物线是什么、它们的方程、它们的特征、示例、已解决的练习的详细解释……

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