反余切的导数

在这里您将找到反余切导数的公式，我们将通过示例解释如何导出函数的反余切。

反余切导数公式

x 反正切的导数是负一除以一加 x 的平方。

$f(x)=\text{arccotg}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{1+x^2}$

因此，函数反余切的导数等于减去该函数的导数除以一加上函数的平方。

$f(x)=\text{arccotg}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{1+u^2}$

请注意，第一个和第二个公式是相同的，唯一的区别是链式法则应用于第二个表达式。事实上，如果用 x 代替 u，就会得到第一个公式，因为函数 x 的导数为 1。

虽然反余切是余切的反函数，但它们的导数却有很大不同。事实上，函数的余切有三种求导方法，你可以在这里看到它们：

在了解了反余切导数的公式是什么之后，这里有两个此类三角导数的已解决练习。另请记住，如果您有任何疑问，可以在下面的评论中留下您的问题。

在这个例子中，我们将看到二次函数 x ²的反余切导数是多少。

$f(x)=\text{arccotg}(x^2)$

在反余切的参数中，我们有一个 x 以外的函数，因此我们需要使用链式法则应用反余切导数的公式：

$f(x)=\text{arccotg}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{1+u^2}$

x 的导数为 2，因此我们必须在分子中输入 2x，在分母中输入参数平方的函数：

$f(x)=\text{arccotg}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{1+(\left(x^2\right)^2}=-\cfrac{2x}{1+x^4}$

在第二个示例中，我们将导出三次多项式函数的反余切。

$f(x)=\text{arccotg}(x^3-9x+2)$

我们利用反余切导数法则来求导：

$f(x)=\text{arccotg}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{1+u^2}$

所以函数的反余切值的导数为：

$f(x)=\text{arccotg}(x^3-9x+2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{3x^2-9}{1+(x^3-9x+2)^2}$