反对称矩阵 - Mathority

在此页面上，我们解释什么是反对称矩阵。此外，您将能够看到几个示例及其典型结构，以更好地理解它。我们还解释了计算反对称矩阵行列式的特殊性以及此类矩阵的所有属性。最后，您将发现如何将任何方阵分解为对称矩阵与另一个反对称矩阵的和。

什么是反对称矩阵？

反对称矩阵的定义如下：

反对称矩阵是一个方阵，其转置等于矩阵的负数。

$A^t = -A$

金子

$A^t$

表示转置矩阵

$A$

和

$-A$

是矩阵

$A$

它的所有元素都改变了符号。

反对称矩阵的示例

一旦我们了解了反对称矩阵的概念，我们将看到几个反对称矩阵的例子来更好地理解它：

2 × 2 阶反对称矩阵的示例

维度为 3×3 的反对称矩阵的示例

大小为 4×4 的反对称矩阵的示例

当转置这三个矩阵时，我们验证它们是反对称的，因为转置后的矩阵相当于它们各自的原始矩阵改变了符号。

反对称矩阵的结构

为了满足反对称矩阵条件，它们必须始终具有相同类型的结构：主对角线上的数字都等于 0，并且第i行和j列的元素是第j行和列元素的负数我。换句话说，反对称矩阵的形式如下：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & a & b & \cdots & c\\[1.1ex]-a & 0 & d & \cdots &e\\[1.1ex]-b & -d & 0 & \cdots & f\\[1.1ex]\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.1ex] -c & -e & -f & \cdots & 0\end{pmatrix}$

因此，反对称矩阵的主对角线充当反对称轴。这就是这个特定矩阵的名称的由来。

反对称矩阵的行列式

反对称矩阵的行列式取决于所述矩阵的维数。这是由于行列式的属性：

$\displaystyle \text{det}(A)=\text{det}(A^t)=\text{det}(-A)=(-1)^n \text{det}(A)$

因此，如果反对称矩阵是奇数阶，则其行列式将等于 0 。另一方面，如果反对称矩阵是偶数维，则行列式可以取任意值。

因此，奇数维的反对称矩阵是奇异矩阵或简并矩阵。另一方面，偶数阶的反对称矩阵是正则矩阵。

反对称矩阵的性质

反对称矩阵的特点如下：

两个反对称矩阵相加（或相减）得到另一个反对称矩阵。由于转置两个相加（或相减）的矩阵相当于分别转置每个矩阵：

$\displaystyle \left(A+B\right)^t = A^t+B^t = -A-B$

任何反对称矩阵乘以标量也会产生另一个反对称矩阵。

反对称矩阵的幂相当于反对称矩阵或对称矩阵。如果指数是偶数，则幂结果是对称矩阵，但如果指数是奇数，则幂结果是反对称矩阵。您可以在此链接中查阅什么是对称矩阵。

反对称矩阵的迹始终等于零。

任何反对称矩阵加上酉矩阵之和都会产生可逆矩阵。

$\displaystyle \text{det}(A+I)\neq 0$

反对称矩阵的所有实特征值（或特征值）均为 0。然而，反对称矩阵也可以具有复特征值。

所有反对称矩阵都是正规矩阵。因此，它们遵循谱定理，即反对称矩阵可以被酉矩阵对角化。

将方阵分解为对称矩阵和反对称矩阵

方阵的一个特点是它们可以分解为对称矩阵加反对称矩阵的和。

允许我们执行此操作的公式如下：

$\displaystyle \begin{array}{c} C = S + A \\[2ex] S = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^t) \qquad A = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^t)\end{array}$

其中C是我们要分解的方阵，C^是其转置，最后S和A分别是矩阵C分解成的对称矩阵和反对称矩阵。

下面有一个已解决的练习来演示该公式。让我们分解以下矩阵：

$\displaystyle C=\begin{pmatrix} 1& 5 \\[1.1ex] -3 &2\end{pmatrix}$

我们用以下公式计算对称和反对称矩阵：

$\displaystyle S=\cfrac{1}{2}\cdot (C+C^t)= \begin{pmatrix} 1& 1 \\[1.1ex] 1 &2\end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\cfrac{1}{2}\cdot (C-C^t)= \begin{pmatrix} 0& 4 \\[1.1ex] -4 &0\end{pmatrix}$

我们可以通过将两个矩阵相加来检查方程是否满足：

$\displaystyle C=S+A \quad ?$

$\displaystyle\begin{pmatrix} 1& 1 \\[1.1ex] 1 &2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0& 4 \\[1.1ex] -4 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 5 \\[1.1ex] -3 &2\end{pmatrix}$

$\displaystyle C=S+A$

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