▷ 如何求反函数或倒数函数（已解决的练习）

在本文中，我们解释什么是反函数（或倒数）以及如何计算函数的反函数。您还将了解如何轻松了解函数是否具有反函数以及此类函数的属性。最后，您可以通过反函数的分步练习进行练习。

什么是反函数？

反函数，又称倒函数，是指定义域为另一个函数（原函数）的值域，且其值域为原函数的定义域的函数。函数f的反函数用符号f ^-1表示。

因此， f(x)的反函数是满足以下条件的函数：

金子

$f^{-1}$

是的反函数

$f.$

反函数的概念也可以使用函数组合来定义，因为任何由其反函数组成的函数都等于恒等函数：

$(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x$

➤看：什么是函数组合？

因此，如果前面的等式成立，则意味着

$f^{-1}$

是以下函数的反函数（或倒数函数）

$f.$

反函数示例

给出了反函数的定义，让我们解决一个例子以更好地理解它的含义。

判断下列函数是否互为反函数：

$f(x)=2x+1\qquad g(x)=\cfrac{x-1}{2}$

如果两个函数互为反函数，则满足以下2个条件：

$(f \circ g)(x) = x \qquad \qquad (g \circ f)(x) = x$

因此，让我们检查两个方程是否都满足。我们首先检查

$(f \circ g)(x) = x:$

$\begin{aligned} \displaystyle\left(f \circ g\right)(x)& = f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&= f\left( \frac{x-1}{2} \right)\\[2ex]& = 2\left( \frac{x-1}{2} \right)+1\\[2ex]& =x-1+1\\[2ex]&=\bm{x} \end{aligned}$

➤ 如果你不明白我们刚才的计算，你需要去上面的链接函数的组成是什么？ ，我们解释一下如何用函数来解决此类操作。

以便

$(f \circ g)(x) = x$

是的，已经完成了。 ✅

现在让我们检查一下相等性

$(g \circ f)(x) = x :$

$\begin{aligned} \left(g \circ f\right)(x)&= g\Big(f(x)\Big)\\[2ex]&= g\Big(2x +1 \Big)\\[2ex]&=\cfrac{(2x+1)-1}{2}\\[2ex]&= \cfrac{2x}{2}\\[2ex]&=\bm{x} \end{aligned}$

以及可逆性条件

$(g \circ f)(x) = x$

这也完成了。 ✅

总之，由于两个方程都成立，因此这两个函数互为反函数。

您可以在下面看到这两个函数的图表。请注意，两个反函数的图形关于第一和第三象限的平分线对称：

如何判断一个函数是否有反函数

如果一个函数是单射函数，即如果其整个域中的每个值对应于其区间中的单个值，则该函数具有反函数。

具有反函数的指数函数

无反函数的二次函数

例如，左指数函数具有反函数，因为每个x对应于f(x)的单个值。另一方面，右二次函数没有反函数，因为它有几个图像相等的x值（例如f(1)=f(3)=2） 。

类似地，双射函数由既是单射又是满射的函数组成，因此任何双射函数也有反函数。

另一方面，您应该记住，反函数与函数的乘法反函数不是一回事，而是两个不同的概念。要找到函数的乘法逆元，只需计算该函数的 1 个对应关系即可。

$f^{-1}(x) \neq \cfrac{1}{f(x)}$

在下一节中，我们将了解如何确定反函数。

如何求反函数

要计算函数的反函数，必须执行以下步骤：

将f(x)替换为y 。
将所有x更改为y ，反之亦然。
清除y变量。
将变量y替换为f ^-1 (x) 。反函数是f ^-1 (x)的表达式。

为了让您清楚地了解反函数是如何计算的，我们将以确定以下函数的反函数为例：

$f(x) =4x+5$

首先我们需要更换

$f(x)$

为了

$y$

$y=4x+5$

现在我们改变一切

$x$

函数的

$y$

，反之亦然：

$y= 4x+5 \quad \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \quad x= 4y+5$

然后我们清除变量

$y:$

$x=4y+5$

$x-5=4y$

$\cfrac{x-5}{4}=y$

$y=\cfrac{x-5}{4}$

最后，反函数

$f(x)$

是我们通过分离得到的代数表达式

$y:$

$\bm{f^{-1}(x) = } \cfrac{\bm{x-5}}{\bm{4}}$

反函数练习题解答

下面我们准备了几个关于反函数的分步练习，以便您练习。

👉 请记住，如果您不明白如何解决练习或希望我们为您解决问题，您可以在评论中给我们写信！

练习1

检查以下两个函数是否互逆（或倒数）：

$f(x)=3x-7\qquad g(x)=\cfrac{x+7}{3}$

查看解决方案

要使两个函数互为反函数，必须满足以下条件：

$(f \circ g)(x)=x \qquad \qquad (g \circ f)(x)=x$

因此有必要检查这两个条件是否满足。我们首先检查

$(f \circ g)(x)=x :$

$\begin{aligned}\displaystyle\left(f \circ g\right)(x)&= f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&= f\left( \frac{x+7}{3} \right)\\[2ex]&= 3 \left(\frac{x +7}{3} \right) - 7 \\[2ex] & =x + 7 - 7 \\[2ex]&= \bm{x}\end{aligned}$

然而，

$(f \circ g)(x) = x$

是的，已经完成了。 ✅

现在让我们检查一下函数的其他组成

$(g \circ f)(x)=x :$

$\begin{aligned}\left(g \circ f\right)(x)&= g\Big(f(x)\Big)\\[2ex]&= g\left(3x-7\right)\\[2ex]&=\cfrac{(3x-7)+7}{3}\\[2ex]&=\cfrac{3x}{3}\\[2ex]&=\bm{x}\end{aligned}$