双曲正弦函数

4 7 月, 2023

在本文中，您将找到有关双曲正弦的所有内容：它的公式是什么、它的图形表示、它的所有特征、与其他函数的关系……

双曲正弦公式

双曲正弦函数是主要双曲函数之一，用符号sinh(x)或sinh(x)表示。双曲正弦等于 e ^x减去 e ^-x除以 2。

因此，双曲正弦的公式如下：

$\displaystyle\text{senh}(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

因此，双曲正弦与指数函数相关。

➤参见：指数函数的特征

双曲正弦的图形表示

使用我们在上一节中看到的公式，我们可以制作双曲正弦值表并绘制函数图：

双曲正弦

在该图中，我们可以看到双曲正弦是一个奇函数，因为相反的 x 有相反的图像，或者换句话说，双曲正弦图关于坐标原点 (0, 0) 对称。

正如您所看到的，双曲正弦图与正弦图有很大不同，正弦是周期函数。您可以在以下链接中查看正弦的图形表示以及与双曲正弦的所有差异：

➤请参阅：正弦函数的图形表示

双曲正弦的特征

双曲正弦具有以下性质：

双曲正弦函数的定义域都是实数：

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

双曲正弦函数的值域或范围也都是实数。

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

双曲正弦是连续奇函数。

$\displaystyle \text{senh}(-x) =- \text{senh}(x)$

在同一交点处截取 X 轴和 Y 轴，即坐标原点：

$(0,0)$

当 x 趋于正负无穷大时，双曲正弦函数的极限等于正负无穷大：

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{senh}(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{senh}(x)=-\infty$

双曲正弦在整个域中严格递增，因此它既没有最大值也没有最小值。

然而，它在 x = 0 点处改变了曲率，因此它是函数的拐点。对于小于 x=0 的值，它是凹函数，另一方面，对于大于 x=0 的值，它是凸函数。

双曲正弦函数的导数是双曲余弦：

$f(x)=\text{senh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\text{cosh}(x)$

类似地，双曲正弦函数的积分就是双曲余弦：

$\displaystyle \int \text{senh}(x) \ dx= \text{cosh}(x) + C$

双曲正弦函数的泰勒级数等价于以下表达式：

$\displaystyle\text{senh}(x)=x+\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}+\cfrac{x^7}{7!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

双曲正弦函数的拉普拉斯变换如下：

$\mathcal{L}\bigl[\text{senh}(at)\bigr]=\cfrac{a}{s^2-a^2}$

双曲正弦的数学关系

双曲正弦通过以下方程与其他双曲函数联系起来：

基本方程将双曲正弦与双曲余弦联系起来：

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

因此，双曲正弦和余弦函数通过双曲线方程相关，即x ² -y ² =1。与通过圆方程 (x ² +y ² =1) 连接的三角正弦和余弦函数不同。

正弦、余弦和正切的双曲函数可以通过以下等式关联：

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

另一方面，两个不同数字相加或相减的双曲正弦可以用以下公式计算：

$\text{senh}(x+y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)+\text{senh}(y)\text{cosh}(x)$

$\text{senh}(x-y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)-\text{senh}(y)\text{cosh}(x)$

两倍数字的双曲正弦可以通过应用以下数学关系来确定：

$\text{senh}(2x)=2\text{senh}(x)\text{cosh}(x)$

两个双曲正弦的和或相减可以使用以下公式求出：

$\displaystyle\text{senh}(x)+\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\displaystyle\text{senh}(x)-\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x-y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x+y}{2}\right)$

最后，可以通过应用以下公式计算双曲正弦的平方：

$\text{senh}^2(x)=\cfrac{1}{2}\Bigl(\text{cosh}(2x)-1\Bigr)$

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