在这里您将找到什么是函数双曲正切的导数。此外，您将能够看到双曲正切导数的几个已解决的示例。最后，我们向您展示双曲正切导数的公式。
双曲正切的导数公式
x 的双曲正切的导数等于 1 除以 x 的双曲余弦的平方。 x的正切的导数也相当于x的双曲正割的平方，1减去x的双曲正切的平方。
![\begin{array}{c}f(x)=\text{tanh}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=\text{sech}^2(x)=1-\text{tanh}^2(x)\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a7c392afdb3bbf504e167e15fb2fee6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
另一方面，如果在函数参数中我们有一个 x 以外的函数，我们必须应用链式法则。那么双曲正切导数的三个公式是：
![\begin{array}{c}f(x)=\text{tanh}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}=\text{sech}^2(u)\cdot u'=\left(1-\text{tanh}^2(u)\right)\cdot u'\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5ee01c6675067b20f71ea8ac4efcfe5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
这并不意味着每次推导双曲正切时都必须使用所有三个公式，而是我们可以使用其中任何一个公式来推导它。因此，根据双曲正切参数的函数，最好使用一种或另一种公式。下面是几个示例，您可以在其中了解如何导出函数的双曲正切。
双曲正切的导数与正切的导数几乎相同，但有一个小细节使它们完全不同。您可以在以下链接中看到有什么区别：
➤参见：正切导数公式
双曲正切导数的例子
了解了双曲正切的导数公式是什么之后，这里有几个此类三角函数的导数的求解示例，以便您充分了解如何推导双曲正切。
示例 1：2x 双曲正切的导数
为了导出本例中的双曲正切，我们将使用双曲余弦公式，当然您也可以使用您喜欢的任何公式。
我们知道2x的导数是2，所以整个函数的导数是：
示例 2：x 平方的双曲正切的导数
函数双曲正切的导数规则为：
一方面，我们将函数与参数 x 2微分，得到 2x，然后我们使用以下公式求解整个函数的导数：
示例 3：双曲正切立方的导数
在这种情况下，我们必须导出函数的双曲正切，而且还要求其幂。所以我们需要使用势函数的导数公式、双曲正切导数规则和链式法则：
正切导数的证明
在本节中，我们将演示双曲正切导数的公式。为此，我们将从连接三个双曲三角比率的三角恒等式开始：
➤注意：要理解证明，你需要知道什么是双曲正弦的导数，什么是双曲余弦的导数。因此，我们建议您在继续之前访问链接的页面。
现在，我们应用商的导数公式：
我们使用以下公式简化分数分子的表达式：
正如您所看到的，前面的等式对应于双曲正切导数的第一个公式。同样，双曲正割是双曲余弦的乘法逆元，因此也推导出第二个公式：
最后，我们可以通过将上一步的分数转化为分数减法，得到双曲正切导数的第三条规则：
