卷积矩阵 - Mathority

在此页面上，您将了解什么是卷积矩阵。我们还向您展示尺寸为 2×2、3×3 和 4×4 的对合矩阵的示例。最后，您将找到对合矩阵的公式。

什么是对合矩阵？

卷积矩阵的含义如下：

卷积矩阵的定义：可逆方阵，其逆矩阵是矩阵本身。

$A^{-1} = A$

金子

$A$

是任意矩阵并且

$A^{-1}$

表示其倒数。

显然，对合矩阵是正则或非简并矩阵的一个例子。

如果您不知道什么是矩阵的逆矩阵，可以在此处查看如何计算3×3 逆矩阵。了解如何反转矩阵很重要，但是为此您还需要知道如何计算矩阵的伴随。

但回到主题：当矩阵是对合矩阵时，矩阵与矩阵本身相乘得到单位矩阵。看看演示：

任何矩阵乘以它的逆矩阵都会得到单位（或单位）矩阵。所以：

$\displaystyle A \cdot A^{-1} = I$

并且由于对合矩阵的逆是矩阵本身：

$\displaystyle A \cdot A = I$

因此，平方卷积矩阵给出单位矩阵：

卷积矩阵的示例

2×2 渐开矩阵示例：

我们可以通过计算矩阵的二次方来验证它是一个对合矩阵：

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

由于矩阵 A 的平方是单位矩阵，因此矩阵 A 是 2×2 的对合矩阵。

3×3 渐开矩阵示例：

我们可以通过求解矩阵的乘积来验证它是一个对合矩阵：

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 & -1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 & -1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

由于矩阵 B 的平方是单位矩阵，因此矩阵 B 是 3×3 的对合矩阵。

4×4 渐开矩阵示例：

单位（或单位）矩阵，无论其维度如何，根据定义都是对合矩阵。

$\displaystyle I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

我们可以通过将矩阵提高到 2 来验证它是一个对合矩阵：

$\displaystyle I^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex]0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex]0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex]0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$