协方差是一种统计度量，可帮助您了解两个变量如何一起变化。假设您有两个变量，例如温度和冰淇淋消耗量。如果随着温度升高，冰淇淋消费量也增加，则变量具有正协方差。相反，如果当温度升高时，冰淇淋的消耗量减少，则它们具有负协方差。
协方差告诉您变量是否倾向于沿相同方向（正）或相反方向（负）变化。如果它们如何一起变化没有明确的模式，那么协方差将接近于零，这意味着变量之间不存在强线性关系。
协方差是如何计算的？
要计算两个变量之间的协方差，您必须有一个包含两个变量值的数据集。然后按照下列步骤操作：
- 求每个变量的平均值。将每个变量的所有值相加，并将结果除以数据点总数。这将为您提供每个变量的平均值。
- 从每个对应值中减去每个变量的平均值。此步骤包括从 X 的每个值中减去变量 X 的平均值，并对变量 Y 执行相同操作。
- 将上一步的结果相乘。对于上一步中减去的每个值，乘以另一个减去的变量的相应结果。
- 添加上一步中的产品。将上一步获得的所有产品相加即可得到总价值。
- 将上一步获得的值除以数据总数。该值是两个变量之间的协方差。
请记住，协方差可以是正数、负数或接近于零。正协方差表明变量倾向于朝同一方向移动。另一方面，负协方差表明变量倾向于沿相反方向变化。最后，协方差接近于零表明它们如何一起变化没有明确的模式。
让我们看一个例子来更好地理解
假设我们有两个变量，“学习时间”(X) 和“考试成绩”(Y)，并且我们有 5 名学生的以下数据：
学习时间 (X)：4、6、3、7、5。
测试结果（Y）：85、90、80、95、88。
步骤1：计算每个变量的平均值
X 的平均值：(4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5
Y 的平均值：(85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86
步骤 2 ：从每个对应值中减去每个变量的平均值
X – X 的平均值：-1, 1, -2, 2, 0
Y – Y 的平均值：-1, 4, -6, 9, 2
步骤3 ：将上一步得到的结果相乘
(-1) · (-1) = 1
1 4 = 4
(-2) · (-6) = 12
2 9 = 18
0 2 = 0
第四步：添加上一步获得的产品
1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35
步骤5：将上一步得到的值除以数据总数
35 ÷ 5 = 7
那么，变量“学习时间”和“考试成绩”之间的协方差为7。
方差和协方差有什么区别？
方差是指示数据集的统计离散性或变异性的度量。它的计算方法是各个值与平均值的偏差的平方平均值。高方差意味着数据分散或远离均值，而低方差意味着数据更接近均值。
另一方面，协方差是指示两个变量如何一起移动的度量。它是两个变量联合变异的度量。如果协方差为正，则表明两个变量倾向于一起增加或减少。如果协方差为负，则表明一个变量趋于增加，而另一个变量则减少。协方差接近于零表明变量不具有很强的线性关系。
简而言之，方差衡量数据集本身的变异性，而协方差衡量两个变量之间的联合变异关系。
协方差有多重要？
出于多种原因，协方差是统计和数据分析中的重要度量。一般用于评估两个变量之间关系的强度和方向。协方差值接近零表示关系较弱或没有关系，而值较高则表示变量之间关系较强。
另一方面，值得一提的是，它是数据建模和预测方面的有用工具。它可用于高级数据分析技术，例如线性回归和时间序列分析，以了解一个变量的变化如何影响另一个变量。
它对于金融风险管理也具有重要意义。它使得评估两种金融资产如何一起移动成为可能，这对于投资组合多元化以及评估不同资产的风险和回报至关重要。
协方差的主要用途是什么？
协方差是数据分析中的重要工具，有多种用途。协方差的主要用途之一是在统计学和计量经济学中。它用于衡量两个变量之间的联合变异关系，可以帮助我们了解它们如何共同变化。
在金融中，协方差用于评估不同金融资产（例如股票、债券或房地产）的回报之间的关系。它帮助投资者了解资产如何协同运作以及如何通过多元化投资来管理风险。
在风险分析和投资组合管理中，协方差用于计算风险分散程度，即不同资产的回报如何相关。两种资产之间的低协方差表明它们不太可能朝同一方向移动，这有利于降低投资组合风险。
此外，协方差还应用于环境科学、生物学、心理学和工程学等领域，研究不同变量之间的关系以了解它们的行为并做出预测。
值得注意的是，协方差有一些局限性，例如不是标准化度量并且不能捕获变量之间的非线性关系。然而，它仍然是数据分析中了解两个变量如何一起演化及其联合变化关系的重要工具。
协方差属性
让我们看看下面协方差的一些最重要的属性：
- 两个变量之间的协方差可以为正，表明它们倾向于朝同一方向移动。另一方面，如果协方差为负，则意味着它们倾向于朝相反的方向移动。如果协方差为零，则变量之间不存在线性关系。
- 与相关性不同，协方差不限于特定范围，并且没有标准化的测量单位。这可能使得比较不同尺度或单位的协方差变得困难。
- 数据中极端值或离群值的存在会对协方差产生重大影响。即使变量之间的关系并不强，这也可能导致协方差较高或较低。
- 两个变量之间的协方差是对称的，这意味着 X 相对于 Y 的协方差等于 Y 相对于 X 的协方差。实际上，协方差基于两个变量的联合变异。
- 值得注意的是，协方差并不一定意味着变量之间存在因果关系。它仅显示变量之间联合变异的方向和大小，但不建立直接的因果关系。
协方差示例
正如我们所知，当我们使用示例时，一切都会变得更加清晰。因此，我们将分析这个简单的协方差示例以更好地理解。
考虑两个新变量 A 和 B，其数据如下：
A = (a1, a2, a3) = (2, 5, 7)
B = (b1, b2, b3) = (6, 3, 1)
首先，我们将计算每个变量的算术平均值：
A’ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4.67
B’ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3.33
一旦我们计算了算术平均值，我们就开始计算协方差：
Cov(A, B) = (2 – 4.67) · (6 – 3.33) + (5 – 4.67) · (3 – 3.33) + (7 – 4.67) · (1 – 3.33) ÷ 3 = -2.33
在这种情况下，协方差值为负。这表明变量 A 和 B 存在负相关关系，即当一个变量增加时，另一个变量趋于减少。然而，为了更好地理解A和B之间的关系，有必要计算线性相关性。
还需要考虑到不同变量的协方差无法进行比较，因为协方差的测量单位与相关变量的测量单位相同。因此，您无法比较收入和年龄等变量的协方差，因为它们的测量单位不同。