函数表示

在本文中,我们将了解如何在图形上表示任何类型的函数。此外,您还将找到有关在图表上表示函数的已解决的分步练习。

如何在图上表示函数

要在图形上表示函数,必须执行以下步骤:

  1. 求函数的定义域
  2. 使用笛卡尔轴计算函数的截止点
  3. 计算函数的渐近线
  4. 研究函数的单调性并找出其相对极值
  5. 研究函数的曲率并找到其拐点
  6. 绘制截止点、渐近线、相对极值和拐点,然后绘制函数。

表示函数的示例

为了让您能够看到函数是如何以图形方式表示的,我们将逐步解决以下练习:

  • 在图上绘制以下有理函数:

f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

首先要做的是计算函数的定义域。这是一个有理函数,因此我们需要将分母设置为零,以查看哪些数字不属于函数的定义域:

x-1=0

x=1

因此,当 x 为 1 时,分母将为 0,因此该函数将不存在。因此,函数的域由除 x=1 之外的所有实数组成。

\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

为了找到与 X 轴的交点,我们必须求解方程

f(x)= 0.

由于该函数在 X 轴上的值始终为 0:

f(x)=0

\cfrac{x^2}{x-1} = 0

期限

x -1

这涉及到将整个左侧除,因此我们可以将其乘以整个右侧:

x^2 = 0 \cdot (x-1)

x^2 = 0

x = 0

因此与 OX 轴的交点为:

\bm{(0,0)}

为了找到与 Y 轴的交点,我们计算

f(0).

因为 x 在 Y 轴上始终为 0:

f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0

因此,与OY轴的分界点为:

\bm{(0,0)}

在这种情况下,当函数通过坐标原点时,与X轴的交点与与Y轴的交点重合。

一旦我们知道了域和截止点,我们就需要计算函数 的渐近线

要查看函数是否具有垂直渐近线,我们需要计算函数在不属于定义域的点处的极限(在本例中 x=1)。如果结果是无穷大,则它是垂直渐近线。然而:

\displaystyle \lim_{x \to 1} \ \cfrac{x^2}{x-1} = \cfrac{1^2}{1-1} = \cfrac{1}{0} = \infty

由于当 x 趋于 1 时函数的极限给出无穷大,因此 x=1 是垂直渐近线:

表示函数,垂直渐近线

一旦计算出垂直渐近线,就需要计算函数相对于它的横向极限。因为我们不知道函数从左侧接近 x=1 时是否会趋于 -∞ 还是 +∞,并且我们也不知道函数何时从右侧接近 x=1。

因此,我们继续计算函数在 x=1 处的左侧极限:

\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} \cfrac{x^2}{x-1}

为了数值计算某个点的横向边界,我们必须将一个数字代入非常接近该点的函数中。在本例中,我们希望左侧有一个非常接近 1 的数字,例如 0.9。因此,我们将点 0.9 代入函数中:

\cfrac{0,9^2}{0,9-1}=\cfrac{0,81}{-0,1}=-81

渐近线的横向极限只能给出+∞或-∞。由于将左侧非常接近 1 的数字代入函数中,我们得到了负结果,因此左侧的极限为 -∞:

\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} \cfrac{x^2}{x-1} = \bm{-\infty}

现在我们对右侧边界执行相同的过程:

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \cfrac{x^2}{x-1}

我们将右边一个非常接近 1 的数字代入函数中。例如第1.1点:

\cfrac{1,1^2}{1,1-1}=\cfrac{1,21}{0,1}=+12,1

在这种情况下,侧极限结果是正数。因此右边的极限是+∞:

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \cfrac{x^2}{x-1} = \bm{+\infty}

总之,当 x=1 时,函数趋向于左边为负无穷大,右边为正无穷大:

图形函数,垂直渐近线

另一方面,函数的水平渐近线将是函数无限极限的结果。然而:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{x^2}{x-1} = \cfrac{+\infty}{+\infty } =+\infty

记住如何计算有理函数的无限极限:

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”></p>
</p>
</div>
<p>函数的无限极限给了我们+∞,因此函数没有水平渐近线。</p>
<p>我们现在计算斜渐近线。斜渐近线的形式为</p>
</p>
<p class=y=mx+n

。和

m

其计算公式如下:

\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} f(x):x

\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x-1}:x

x 就好像它有 1 作为分母:

\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x-1}:\cfrac{x}{1}

这是分数除法,所以我们将它们横向相乘:

\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2 \cdot 1 }{(x-1) \cdot x}

\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2 }{x^2-x}

我们计算极限:

\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2 }{x^2-x} =  \cfrac{+\infty}{+\infty } = \cfrac{1}{1} = 1

所以m=1。现在我们计算

n

具有以下公式:

\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \bigl[f(x)-mx\bigr]

\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2}{x-1}-1x\right] = \cfrac{+\infty}{+\infty} -(+\infty) = +\infty - \infty

但是我们得到了不确定性无穷大减去无穷大,所以我们必须将这些项减少到一个公分母。为此,我们将 x 项乘以并除以分数的分母:

\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty}\left[\cfrac{x^2}{x-1}-x\right]  = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2}{x-1}-\cfrac{x\cdot (x-1)}{x-1} \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2}{x-1}-\cfrac{x^2-x}{x-1}\right]

现在这两项具有相同的分母,我们可以将它们分组:

\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2-(x^2-x)}{x-1}  \right] =\lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x}{x-1} \right]

最后我们解决极限:

\displaystyle n =\lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x}{x-1} \right] = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \cfrac{1}{1} = 1

因此 n = 1。因此斜渐近线为:

y = mx+n

y = 1x+1

\bm{y = x+1}

一旦我们计算了斜渐近线,我们就通过制作一个值表将其表示在同一张图表上:

y=x+1

\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}

表示函数,斜渐近线

现在我们知道了函数的所有渐近线,我们需要分析函数的单调性。也就是说,我们需要研究函数在哪些区间增加以及在哪些区间减少。因此,我们计算函数的一阶导数:

f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2}

f'(x)= \cfrac{2x^2-2x - x^2}{(x-1)^2}  = \cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}

现在我们将导数设置为 0 并求解方程:

f'(x)=0

\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0

期限

\left(x-1\right)^2}

这涉及到将整个左侧除,因此我们可以将其乘以整个右侧:

x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

x^2-2x=0

我们提取公因子来求解二次方程:

x(x-2)=0

为了使乘法等于 0,乘法的两个元素之一必须为零。因此,我们将每个因子设置为0,并得到方程的两个解:

\displaystyle x\cdot(x-2) =0   \longrightarrow  \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

现在我们在数轴上表示所有找到的临界点,即不属于定义域的点 (x=1) 和取消导数的点 (x=0 和 x=2):

我们评估每个区间内导数的符号,以了解函数是增加还是减少。因此,我们在每个区间取一个点(而不是临界点)并查看导数在该点的符号:

f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \  \rightarrow \ \bm{+}

f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot 0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3  \  \rightarrow \ \bm{-}

f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot 1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3  \  \rightarrow \ \bm{-}

f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot 3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \  \rightarrow \ \bm{+}

如果导数为正,则表示函数在增,如果导数为负,则表示函数在减。因此,增长区间和下降区间为:

生长:

\bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

减少:

\bm{(0,1)\cup (1,2)}

此外,当 x=0 时,函数从增加变为减少,因此 x=0 是函数的相对最大值。当 x=2 时,函数从递减变为递增,因此 x=2 是函数的相对最小值。

最后,我们将找到的极值代入原始函数以找到点的 Y 坐标:

f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

因此,该函数的相对极值是:

最大接通点

\bm{(0,0)}

最小到点

\bm{(2,4)}

我们在图表上表示最大值和最小值:

表示最大和最小函数

最后,研究函数的曲率就足够了,也就是说研究函数的凹凸区间。为此,我们计算其二阶导数:

f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} \ \longrightarrow \ f''(x)= \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)^2- (x^2-2x)\cdot 2(x-1)\cdot 1}{\left(\left(x-1\right)^2\right)^2}

f''(x)= \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)^2- (x^2-2x)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}

f''(x)= \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)^{\cancel{2}}- (x^2-2x)\cdot 2\cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancelto{3}{4}}} = \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)- (x^2-2x)\cdot 2}{(x-1)^3}

f''(x)= \cfrac{2x^2-2x-2x+2- (2x^2-4x)}{(x-1)^3}  =\cfrac{2x^2-2x-2x+2- 2x^2+4x}{(x-1)^3}

f''(x) =\cfrac{2}{(x-1)^3}

现在我们将二阶导数设置为零并求解方程:

f''(x)=0

\cfrac{2}{(x-1)^3} =0

2=0\cdot \left(x-1\right)^3

2=0

2 永远不会等于 0,所以等式

f''(x)=0

没有解决办法。

现在,我们在数轴上表示所有找到的临界点,也就是说,不属于定义域 (x=1) 的点和取消二阶导数的点(在这种情况下,没有一个点不是):

然后我们评估每个区间内导数的符号,以了解该函数是凸函数还是凹函数。因此,我们在每个区间中取一个点(而不是奇点)并查看此时导数的符号:

f''(x) =\cfrac{2}{(x-1)^3}

f''(0) =\cfrac{2}{(0-1)^3} = \cfrac{2}{-1}=-2 \  \rightarrow \ \bm{-}

f''(2) =\cfrac{2}{(2-1)^3} = \cfrac{2}{1}=2 \  \rightarrow \ \bm{+}

最后推导出函数的凹凸区间。如果二阶导数为正,则表示该函数是凸函数。

(\bm{\cup})

,如果二阶导数为负,则意味着该函数是凹函数

(\bm{\cap})

。因此,凹度和凸度区间为:

凸面

(\bm{\cup})

:

\bm{(1,+\infty)}

(\bm{\cap})

:

\bm{(-\infty,1)}

然而,即使 x=1 处曲率发生变化,它也不是拐点。因为x=1不属于函数的定义域。

所以我们可以使用我们计算的所有内容来完成表示函数:

函数的表示

因此,图表上表示的函数如下所示:

有理函数的图形表示

解决了表示函数的练习

练习1

绘制以下多项式函数的图形:

\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4

练习2

画出以下有理函数的图形:

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2-1}

练习3

在图上绘制以下有理函数:

\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}

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