在此页面上,您将了解什么是共面(或共面)点以及如何知道某些点是否共面。此外,您将能够看到示例并通过已解决的共面点练习进行练习。
什么是共面点?
在解析几何中,共面(或共面)点的含义如下:
共面点是属于同一平面的点。
因此,2 或 3 个点总是共面,因为只需 3 个点即可形成一个平面。另一方面,当有 4 个、5 个或更多个点时,某些点可能不包含在同一平面中,因此它们不共面。
例如,在上面的图形表示中,您可以看到点 A、C、D 和 F 彼此共面,因为它们包含在同一平面中。另一方面,这4个点与B、E、G点不共面,因为在包含所有点的空间中无法形成平面。
从这个性质,我们可以推导出共面点定义的向量也是共面向量,即它们包含在同一平面内。
点什么时候共面?
正如我们在共面(或共面)点的定义中看到的,两个或三个点总是共面的,但超过三个点则不必遵守共面关系。
因此,判断四个或更多点是否共面主要有两种方法:
- 了解点是否共面的一种方法是通过点确定的向量:如果这些向量共面,则这些点也共面。
显然,要应用此方法,您需要知道向量何时共面。但由于还有多种方法可以确定一组向量是否共面,因此我们建议检查如何判断向量是否共面。在这里,您将找到查找 2、3、4 或更多向量何时共面的所有现有程序,以及示例和已解决的练习。
- 知道一组点是否共面的另一种方法是找到该组中3个点所形成的平面的方程,如果其他点满足该方程,则这意味着该组中的所有点都是共面的。
尽管这取决于问题,但我们建议使用这两种方法中的第一种,因为检查向量是否共面比计算平面方程要简单快捷得多。但是,显然,使用您喜欢的任何一个。
解决了共面点问题
练习1
判断以下三点是否共面:
在这种情况下,无需进行任何计算,因为3 个点始终共面,无论它们是什么。
练习2
判断以下四点是否共面:
为了使四个点共面,由它们确定的向量必须共面。因此我们计算这些向量:
现在让我们构造由向量形成的矩阵:
为了使结果向量共面,前一个矩阵的秩必须等于 2。为此,整个 3×3 矩阵的行列式必须等于 0:
然而,整个矩阵的行列式不为零,因此矩阵的秩为3,因此4个点不共面。
练习3
判断以下五点是否共面:
为了使所有五个点共面,它们定义的向量也必须共面。因此我们计算这些向量:
现在让我们构造由向量组成的矩阵:
为了使生成的向量共面,前一个矩阵的秩必须等于 2。因此,我们通过行列式计算向量矩阵的秩,以检查它们是否共面:
矩阵的秩相当于2,因此向量是共面的,因此5个点也是共面的。
练习4
计算参数值
使得以下 4 点共面:
为了使四个点共面,由它们确定的向量必须共面。因此我们计算这些向量:
其向量矩阵为:
为了使所得向量共面,矩阵的秩必须为 2。因此,整个 3×3 矩阵的行列式必须为 0:
最后我们解决了未知的问题
最后,如果本文对您有用,您可能还对如何计算两点之间的距离(公式)感兴趣,因为有时在解析几何问题中我们会被问到两点之间的距离是多少。在链接页面上,您将找到非常详细的解释,以及逐步解决的示例和练习。