余弦函数

4 7 月, 2023

在此页面上，您将找到有关余弦函数的所有内容：它是什么、它的公式是什么、如何在图形中表示它、函数的特征、幅度、周期等。此外，您将能够看到余弦函数的不同示例，以充分理解该概念。它甚至解释了余弦定理以及余弦函数与其他三角比率的关系。

余弦函数示例

余弦函数公式

角度α的余弦函数是一个三角函数，其公式定义为直角三角形（直角三角形）的连续（或相邻）边与斜边之间的比率。

余弦函数的公式是什么

余弦是三角函数

这种类型的数学函数也称为余弦、余弦或余弦函数。

余弦函数是三个最著名的三角函数之一，另外两个函数是角度的正弦和正切。

余弦函数的特征值

有些角度经常重复，因此可以方便地知道这些角度的余弦函数的值：

特征值余弦函数

因此，余弦函数的符号取决于角度所在的象限：如果角度位于第一或第四象限，则余弦将为正，反之，如果角度落在第二或第三象限，余弦将为负。

符号余弦函数

余弦函数的图形表示

通过我们在上一节中看到的值表，我们可以绘制余弦函数的图像。通过绘制余弦函数的图形，我们得到：

如何绘制余弦函数的图形

从图中可以看出，余弦函数图像的值总是在+1和-1之间，也就是说，它的顶部以+1为界，底部以-1为界。此外，这些值每 360 度（2π 弧度）重复一次，因此它是一个周期为 360°的周期函数。

另一方面，在这张图中，我们完全意识到余弦函数是偶数，因为它的相反元素具有相同的图像，也就是说，它相对于计算机轴（Y 轴）对称。例如，90°的余弦为0，-90°的余弦为0。

余弦函数的性质

余弦函数具有以下特点：

余弦函数的域都是实数，因为如图所示，该函数对于自变量 x 的任何值都存在。

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

余弦函数的路径或范围是从负 1 到正 1（包括两者）。

$\text{Im } f= [-1,1]$

它是一个连续函数和周期为 2π 的偶函数。

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

这种类型的三角函数与 OY 轴在点 (0,1) 处有一个交点。

$(0,1)$

相反，它定期在平均 pi 的奇数倍坐标处截取横坐标（X 轴）。

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

余弦函数的最大值出现在以下情况：

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

相反，余弦函数的最小值出现在：

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

余弦函数的导数是改变符号的正弦：

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

最后，余弦函数的积分为正弦：

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

余弦函数的周期和幅度

正如我们在他的图中看到的，余弦函数是一个周期函数，也就是说，它的值以一定的频率重复。此外，其振荡的最大值和最小值取决于其振幅。因此，决定余弦函数的两个重要特征是其周期和幅度：

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

余弦函数的周期是图形重复的两点之间的距离，由以下公式计算：

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

余弦函数的大小相当于余弦项前面的系数。

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

下面您可以看到一张图表，显示了更改周期或幅度的影响：

余弦函数示例

在绿色所示的函数中，我们可以看到，通过将幅度加倍，函数从 +2 变为 -2，而不是 +1 变为 -1。另一方面，在红色显示的函数中，您可以看到它的速度是“规范”余弦函数的两倍，因为它的周期已减半。

余弦定理

尽管余弦公式通常用于直角三角形，但还有一个定理可以应用于任何类型的三角形：余弦或余弦定理。

余弦定理将任意三角形的边和角联系起来，如下所示：

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

余弦函数与其他三角比率的关系

然后你就得到了三角学中最重要的三角比的余弦关系。

与乳房的关系

正弦函数的图形与余弦曲线等效，但发生了平移
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

因此，在右侧，这两个函数可以通过以下表达式链接：

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \text{sen}\left(\alpha + \frac{\pi}{2} \right)$

您还可以将正弦和余弦与三角函数基本恒等式联系起来：

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

与切线的关系

虽然证明起来很复杂，但余弦只能根据正切来表示：

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

与割线的关系

余弦和正割是乘法逆元：

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \cfrac{1}{\text{sec }\alpha}$

与余割的关系

可以求解余弦，使其仅取决于余割：

$\displaystyle \text{cos }\alpha =\pm \cfrac{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 } }{\text{csc }\alpha}$

与余切的关系

角度的余弦和余切的关系如下：

$\displaystyle \text{cos }\alpha =\pm \cfrac{\text{cot }\alpha}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

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