代数分数：化简、运算、解决练习……

在本页中，我们解释什么是代数分数、它们何时等价、如何简化它们以及如何使用代数分数执行运算（加法、减法、乘法和除法）。此外，您将能够看到已解决的代数分数的分步练习。简而言之，在这里您将找到有关代数分数的所有内容。

什么是代数分数？

在数学中，代数分数是分子中有一个多项式、分母中有另一个多项式的分数。

例如，上面的分数表达式由代数分数组成，因为它的分子和分母由多项式组成。

代数分数当量

一旦我们知道了代数分数的定义，让我们看看两个这样的分数何时相等。

从数学上讲，如果满足以下条件，两个代数分数是等价的：

作为示例，我们将检查以下 2 个代数分数是否等价：

为了确定分数在代数上是否相等，我们将它们的项横向相乘：

现在我们来计算多项式的乘法：

我们在方程两边得到了相同的表达式，因此它们实际上是两个等价的代数分数。

化简代数分数

要简化代数分数，必须首先将多项式的分子和分母因式分解，然后消除它们的共同因式。

显然，为了简化代数分数，您必须了解什么是多项式因式分解以及它是如何完成的。如果您仍然不知道多项式如何因式分解或不完全记住，我建议您在继续之前先访问链接页面，否则您将很难理解该过程。它逐步解释了如何对多项式进行因式分解，此外，您将能够看到几个示例并通过已解决的练习进行练习。

现在让我们通过一个例子来看看如何通过应用多项式因式分解的方法来简化代数分数：

• 化简以下代数分数：

首先，我们对分数的分子和分母的多项式进行因式分解：

⬆（如果您不知道多项式如何因式分解，请查看上面的链接）⬆

一旦我们对多项式进行因式分解，我们就消除分子和分母之间的公因式，也就是说，我们删除所有重复的项：

因此，简化的代数分数如下所示：

在这个问题中，代数分数的多项式通过求根来分解；然而，有时可以通过采用公因式直接对多项式进行因式分解（更快的方法）。在此链接中，您将了解从多项式中获取公因式的含义，并且您将了解如何使用公因式简化代数分数。

代数分数运算

与任何类型的分数一样，也可以使用代数分数进行运算。具体来说，代数分数可以进行加法、减法、乘法和除法。下面我们通过示例逐步解释每种操作的计算方式。

代数分数的加法和减法

代数分数的加法和减法的过程实际上是相同的，因此我们将它们放在一起分析。首先我们将看到两个代数分数相加的例子，下面我们将研究代数分数相减方法的区别。

添加代数分数

代数分数的加法与普通分数的加法相同：首先将分数化简为公分母，然后将分子相加。

让我们通过一个例子来看看代数分数是如何相加的：

我们首先对分数的分母进行因式分解：

现在我们需要找到分母的lcm （最小公倍数），以将分数减少到公分母。

提示：分母的 lcm 始终由它们的共同因子乘以最大指数乘以非共同因子的乘积形成。

例如，在我们的例子中

最大指数的分母之间的公约数是

分母之间的非公因数是

因此，这种情况下分母的 lcm 为：

因此，分母的 lcm 为

因此，这将是两个分数的新分母。

一旦我们找到了共同点，我们就必须修改分子。为此，我们遵循与正态分数相加相同的过程：对于每个分数，我们除以 lcm

原始分母之间并将结果乘以分子：

现在我们可以将两个分数放在一起，因为它们具有相同的分母：

最后，我们对分子进行操作。我们首先计算单项式和多项式的乘积：

接下来，我们将相似的项添加到分子：

通常情况下我们已经到了那里，但是如果我们仔细研究这个问题，我们可以通过从分子中删除一个公因子来进一步简化代数分数。然而：

这样我们就已经完成了两个代数分数的和。

代数分数减法

要减去代数分数，我们必须遵循与添加代数分数类似的过程：首先将分数减少到公分母，然后减去分子。

让我们通过一个例子来看看代数分数是如何减法的：

首先，我们需要分解两个分数的分母：

与正态分数的减法一样，我们现在必须计算分母的lcm （最小公倍数），以将分数减少到公分母。在这种情况下，分母的 lcm 是

因此，这将是两个分数的新分母。

现在我们应用与减去正常分数相同的过程：对于每个分数，我们除以 lcm

原始分母之间并将结果乘以分子：

我们现在连接两个代数分数，因为它们具有相同的分母：

我们对分子进行操作。我们首先求解多项式乘法：

代数分数减法时一个非常常见的错误是在执行乘法后忘记加括号。这将是一个错误，因为负号影响乘积的所有结果元素，而不仅仅是第一项。

我们执行括号内的运算：

因此，由于负号，我们改变了括号中所有项的符号：

最后，我们将类似的单项式分组：

代数分数的乘法

为了将代数分数相乘，我们首先将所述分数的所有多项式因式分解，然后将分子彼此相乘，以及分母彼此相乘，最后，我们简化所获得的分数。

因此，代数分数的乘积实际上与正规分数的乘积的计算方式相同。

接下来，我们通过一个例子来看看如何将两个代数分数相乘：

首先，您必须对分数的所有多项式进行因式分解，包括分子和分母：

现在让我们乘以分数。为此，我们将分子和分母相乘：

最后，我们简化分母和分子中重复的因子：

因此乘法的结果是：

分数不能进一步简化。这样我们就已经完成了代数分数的乘法。

代数分数除法

为了计算代数分数的除法，我们首先对所有多项式进行因式分解，然后将这些分数横向相乘（第一个分子乘以第二个分母，第一个分母乘以第二个分子），最后，我们简化代数分数。

因此，让我们通过一个示例更好地了解如何除两个代数分数：

除以两个代数分数的第一步是分解运算中涉及的所有多项式：

现在我们需要除以分数。为此，我们将分数横向相乘，即第一个分子乘以第二个分母，结果将是新分数的分子，同样，第一个分母乘以第二个分子结果将是新分数的分母：

我们简化分母和分子中重复的因子：

我们可以进一步简化分数，因为

分数不能进一步简化。因此，我们已经除代数分数了。

解决了代数分数的练习

下面我们为您提供几道代数分数的逐步解答练习，以便您通过练习来完成对概念的理解。不要忘记您可以在下面的评论中向我们询问您的任何问题！ 💬💬💬

练习1

确定下列代数分数是否等价：

要检查两个代数分数是否相等，必须将它们横向相乘，看看是否相等。所以我们首先检查第一个和第二个分数：

我们求解方程左边的显着恒等式：

✅

在这种情况下，我们得到了一个等式，因此第一个和第二个分数在代数上是相等的。

我们现在对第一和第三代数分数应用相同的过程：

❌

然而，这次代数分数不满足方程，因此第一和第三分数在数学上是不同的。

总之，第三分数与第一分数不同，因此它也不等于第二分数，因为第一分数和第二分数是等价的。

练习2

化简以下代数分数：

为了简化代数分数，我们需要将多项式的分子和分母因式分解，然后消除重复的因式。然而：

练习3

计算以下代数分数的加法和减法：

要添加（或减去）代数分数，我们必须首先将分数减少到一个公分母，然后添加（或减去）分子。所以：

练习4

求解以下代数分数的乘法和除法：

要乘代数分数，我们必须首先对所有多项式进行因式分解，然后将分子和分母相乘，最后简化所得分数。

另一方面，为了除代数分数，我们首先对所有多项式进行因式分解，然后将这些分数横向相乘（第一个分子乘以第二个分母，第一个分母乘以第二个分子），最后，我们简化找到的代数分数。

你觉得这个解释怎么样？你喜欢它吗？或者您有什么建议吗？ 💬 在评论中告诉我们您对此页面的看法！我们读了你们全部！ 👀 不要忘记，您也可以向我们询问所有问题！ ❔👇❔👇