正则或可逆矩阵

在此页面中，您将找到对正则或可逆矩阵的解释，以及如何知道何时可以执行矩阵的逆，何时不能执行。此外，您还将看到几个正则矩阵的示例，以充分理解该概念，最后，我们将向您展示此类矩阵的所有属性。

什么是正则矩阵？

正则矩阵的定义如下：

正则矩阵是可以求逆的方阵，即可以计算该矩阵的逆矩阵。因此，其行列式不为零 (0)。

正则矩阵也称为可逆矩阵、非奇异矩阵或非简并矩阵。

与正则矩阵相反的矩阵是奇异矩阵或简并矩阵。

因此，要知道什么时候一个矩阵是正则矩阵还是奇异矩阵，也就是说什么时候一个矩阵是可逆的，什么时候是不可逆的，只需求解该矩阵的行列式即可：

如果矩阵的行列式非零，则该矩阵是正则矩阵或可逆矩阵。

如果矩阵的行列式等于零，则该矩阵是奇异的或不可逆的。

总之，计算矩阵的行列式是了解矩阵是否有逆矩阵的最简单方法，因此我们建议用它来确定任何矩阵的可逆性。

如果你想知道如何求逆矩阵，你可以查看逆矩阵公式，它一步步解释了如何求逆矩阵，你还会找到几个例子和已解决的练习来练习。

正则矩阵或可逆矩阵的示例

了解了正则矩阵或可逆矩阵的含义后，让我们看一些不同维度正则矩阵的示例：

正则或可逆 2×2 矩阵的示例

我们可以通过计算它的行列式来验证它是一个正则矩阵：

$\displaystyle\begin{vmatrix} 3&5 \\[1.1ex] 1 & 2\end{vmatrix}=1\bm{\neq 0}$

2阶矩阵的行列式不等于0，因此是正则矩阵。

正则或可逆 3×3 矩阵的示例

我们必须对矩阵求行列式来验证它是可逆矩阵：

$\displaystyle\begin{vmatrix} 2&1&4\\[1.1ex] 3&1&0\\[1.1ex] 1&0&3\end{vmatrix}=-7\bm{\neq 0}$

3阶矩阵的行列式给出的结果不为0，因此它是正则矩阵。

正则或可逆 4×4 矩阵的示例

对矩阵求行列式可知它是正则矩阵：

$\displaystyle\begin{vmatrix} 1&3&-2&0\\[1.1ex] 2&-1&0&5\\[1.1ex] 1&3&1&2\\[1.1ex] 0&-1&2&4\end{vmatrix}=-49\bm{\neq 0}$

4 阶矩阵的行列式不为零，因此它是可逆矩阵。

警告：如果您对行列式的计算有疑问，可以查阅如何计算行列式页面。

正则矩阵或可逆矩阵的性质

正则矩阵或可逆矩阵对于线性代数非常重要，这是由于以下特征：

如果 A 是可逆矩阵，那么它的转置或转置矩阵也是可逆矩阵。另外，转置的逆矩阵等于逆矩阵的转置。

$\displaystyle \left(A^t\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^t$

正则矩阵的范围总是尽可能的最大值，或者换句话说，范围相当于矩阵的维数。

两个可逆矩阵之间的矩阵乘积产生另一个正则矩阵。这个条件可以很容易地用行列式的性质来证明：

$\displaystyle \left.\begin{array}{l}\text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot\text{det}(B) \\[2ex] \text{det}(A)\neq 0 \quad ; \quad \text{det}(B) \neq 0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \text{det}(A\cdot B) \neq 0$

每个正交矩阵同时也是一个正则矩阵。

设 A 为表示线性方程组的矩阵
$(Ax=b)$

，如果A是正则矩阵，则系统有唯一解，因此是兼容行列式系统（SCD）。

此外，如果系统是同质系统
$(Ax=0)$

且 A 可以反转，系统的解很简单：

$x=0.$

正则矩阵的列和行彼此线性独立。

正则或可逆矩阵的所有特征值（或特征值）均非零。

正则金可逆矩阵

什么是正则矩阵？