二项式

在此页面上,您将找到二项式是什么的解释,此外,您还可以看到每种类型二项式的示例。此外,我们还向您展示用于解决二项式运算的公式:二项式乘法、二项式平方、二项式立方……

什么是一对?

在代数中,二项式的定义是:

二项式是仅由两个单项式组成的多项式。换句话说,二项式由一个代数表达式组成,该代数表达式仅包含由加号 (+) 或减号 (-) 连接的 2 个不同项。

什么是二项式

二项式一词来自希腊语,由两个词汇成分( binomos )组成,含义如下:

  • bi : 前缀,意思是 2。
  • nomos :意思是部分。

因此,我们可以推导出二项式的含义:具有两部分(或2个单项式)的多项式。

另一方面,“配对”的概念还有数学意义之外的另一种含义,即“配对”还可以指在政治生活、某些体育学科甚至娱乐领域中起主导作用的一组两个人物。 。但是,显然,我们在这里将重点关注二项式的数学定义。

二项式的例子

为了完成对二项式概念的理解,我们将看到此类多项式的几个示例:

  • 二次二项式的示例:

x^2+4x

  • 三阶二项式的示例:

x^3+5

  • 四次二项式的示例:

3x^4+8x^2

现在我们知道什么是二项式,我们将了解二项式的不同类型以及如何解决二项式运算。

二项式平方

平方二项式是显着恒等式,也称为显着乘积或显着等式。求解二项式 2 的幂取决于它是和二项式还是差二项式。

二项式和是指两项均为正的二项式,也就是说二项式平方和为:

(a+b)^2

另一方面,差(或减)二项式是加法二项式的共轭,也就是说,它的一个单项式具有负号。因此,二项式差平方的代数表达式为:

(a-b)^2

要计算平方二项式,您必须应用一个公式,正如我们所见,该公式根据是加法还是减法而变化。了解这是如何在显着等式的公式中完成的,您可以在其中看到所有分步解释以及示例和已解决的练习,并且不仅是这两个显着等式,而是所有这些等式。

二项式立方

尽管不太常用,立方二项式也被认为是著名的产品。或者换句话说,有一些数学规则可以让您快速找到二项式的立方(您可以在上面著名的恒等式公式的链接中看到它们)。

和之前一样,这个增强的结果取决于它是否是总和的立方:

(a+b)^3

或者相反,如果幂由差值或减法的立方构成:

(a-b)^3

从逻辑上讲,平方二项式和立方二项式之间的主要区别在于幂指数。然而,三次二项式的公式比平方二项式的公式复杂得多。

值得注意的协议

特别是某些类型的二项式由于其特征而有些特殊,因为它们对应于鲜为人知的显着身份(或显着产品)。

  • 平方和:

    a^2+b^2

  • 平方差(或减法):

    a^2-b^2

  • 立方和:

    a^3+b^3

  • 立方的差(或减):

    a^3-b^3

金子

a

b

是任意两个单项式。

虽然这些二项式表达式看起来很像我们上面看到的那些(二项式平方和二项式立方),但如果仔细观察它们是不同的。从这个意义上说,您还可以通过单击上面的链接 ⬆ 显着恒等式的公式来查看显着二项式的公式及其推导。⬆

二项式乘法

二项式最常见的运算之一是乘法。接下来我们将看到一个如何计算二项式之间的乘法的示例。

(x^2+2x)\cdot (x-5)

要计算二项式乘法,我们必须首先将第一个二项式中的每一项乘以第二项式中的每一项:

x^2\cdot x+x^2\cdot (-5)+2x\cdot x +2x\cdot (-5)

x^3-5x^2+2x^2 -10x

接下来,我们将相似的术语分组,即它们具有相同的字面部分:

\bm{x^3-3x^2 -10x}

通过这种方式,我们设法找到了两对之间的乘积的结果。

具有共同项的两个二项式的乘积

当参与乘法的二项式以变量作为公项时

x,

有一个公式可以快速计算这个二项式运算:

(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab

在这里,我们向您展示一个已解决的练习,以便您了解如何应用此公式:

\begin{aligned} (x+4)(x+5) &= x^2+(4+5)x+4\cdot 5 \\[2ex] & = x^2+9x+20 \end{aligned}

牛顿二项式

牛顿二项式,也称为二项式定理,是用于计算二项式幂的公式。

牛顿二项式的数学公式如下:

\displaystyle \left( a+b\right)^n = & \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}x^{n-k}y^k

或同等学历:

\left( a+b\right)^n =\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} \right)a^n b^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1}b^{1} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^{2} + \dots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^0 b^{n}

正如您所看到的,这个公式理解起来有点复杂。这就是为什么我们将最低次二项式的幂制作如下,以便您更好地理解:

牛顿二项式定理的公式

这个公式对于计算二项式的平方或立方可能有点乏味,因为正如我们上面看到的,有更简单的公式。然而,牛顿二项式对于求更高次方的幂非常有用,例如,它被广泛用于确定四次二项式。

但要应用这个公式,你必须知道如何计算组合数,即类型的代数表达式

\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}

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