二次函数或抛物线

17 9 月, 2023

本页解释了什么是二次函数及其所有特征：曲率、顶点、与轴的交点等。您还将学习如何在图形上表示二次函数。最后，您可以通过示例、分步练习和二次函数问题进行练习。

什么是二次函数？

二次函数的定义如下：

在数学中，二次（或抛物线）函数是 2 次多项式函数，即最高次项为二次的函数。因此，二次函数的公式为：

$f(x)=ax^2+bx+c$

金子：

$ax^2$

是二次项。
$bx$

是线性项。
$c$

是独立项。

二次函数的域始终由实数组成。

$\text{Dom } f=\mathbff{R}$

二次函数的凹性和凸性

分析二次函数或抛物线函数的曲率非常简单，因为它仅取决于二次系数。

如果系数
$a$

为正，二次函数是凸函数（形式为

$\bm{\cup}$

）。因此，登顶是最低限度。
如果系数
$a$

为负，二次函数是凹的（形状像

$\bm{\cap}$

）。因此峰值是最大值。

二次函数或凸抛物线

二次函数或凹抛物线

注意：数学界仍然没有完全同意，因此，一些教授提出了相反的说法：他们将形状为 a 的函数称为凹函数

$\bm{\cup}$

，以及一个凸函数，其形式为

$\bm{\cap}$

。无论如何，重要的是什么形式具有功能，无论名称如何。

二次函数的顶点

要绘制二次函数的图形，必须知道抛物线顶点的坐标。

为了找到二次函数的顶点，我们需要使用以下公式计算该点的 X 坐标：

$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$

然后我们可以通过计算该点函数的图像来找到另一个顶点坐标：

$\displaystyle f\left(\frac{-b}{2a}\right)$

因此，二次函数（或抛物线）的顶点坐标为：

$\displaystyle \left(\frac{-b}{2a} \ , \ f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$

用二次函数的轴切割点

抛物线总是与 y 轴（Y 轴）相交，这种情况发生在

$x=0.$

因此，要计算二次函数与 Y 轴的截止点，必须求解

$f(0).$

例如，以下二次函数与 OY 轴的交点为：

$f(x)=x^2-2x+1$

$f(0)=0^2-2\cdot 0+1 = 1$

$\bm{(0,1)}$

另一方面，二次函数与 x 轴（X 轴）的截止点出现在

$f(x)=0.$

因此，要计算与 X 轴的交点，您必须求解方程

$f(x)=0.$

作为例子，下面是同一个二次函数的 OX 轴截止点的计算：

$f(x)=x^2-2x+1$

$0=x^2-2x+1$

我们用一般公式求解二次方程：

$x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\cfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot1}}{2\cdot 1} =\cfrac{2\pm 0}{2} = 1$

因此，二次函数与 X 轴的交点为：

$\bm{(1,0)}$

在这种情况下，我们只能得到二次方程的一个解，但我们可以得到两个解。在这种情况下，这意味着二次函数在两个不同的点处与 X 轴相交。

二次函数或抛物线函数的表示示例

让我们通过示例了解如何在图形上表示二次函数。

绘制以下函数的图形：

$f(x)=x^2-4x+5$

首先要做的是计算抛物线的顶点。为此，我们使用上面看到的公式：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-4)}{2\cdot 1}= \cfrac{4}{2}= 2$

一旦我们知道顶点在哪里，我们就需要构建一个值表：我们计算顶点及其周围点的函数值：

$f(x)=x^2-4x+5$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2^2-4\cdot2+5=1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1^2-4\cdot1+5=2$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 3^2-4\cdot3+5=2$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 0^2-4\cdot0+5=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 4^2-4\cdot4+5=5$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 0 & 5 \\ 4 & 5 \end{array}$

您还可以计算二次函数与笛卡尔轴的割点，以更好地绘制抛物线，但这并不是绝对必要的。

我们现在在图表上表示获得的点：

如何表示二次函数或抛物线函数的示例

最后，我们将形成抛物线的点连接起来。然后我们拉长抛物线的分支以表明它继续向上：

二次或抛物线函数的表示

解决了二次函数的练习

练习1

找到以下二次函数的顶点：

$f(x)=2x^2+8x+4$

查看解决方案

我们首先使用以下公式计算顶点的 X 坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-8}{2\cdot 2} = \cfrac{-8}{4} = -2$

现在我们通过计算该点的函数来计算另一个坐标：

$\begin{aligned} f(-2) & =2(-2)^2+8(-2)+4 \\[1.7ex] & = 2 \cdot 4 - 16 +4 \\[1.7ex] & = 8-16+4 \\[1.7ex] & = -4 \end{aligned}$

因此，二次函数的顶点为：

$\bm{(-2,-4)}$

练习2

找到以下函数与轴的分界点：

$f(x)=x^2-4x+3$

查看解决方案

为了计算Y轴的切点，我们需要计算

$f(0):$

$f(0)=0^2-4\cdot 0+3 = 3$

因此，该函数在以下点穿过 Y 轴：

$\bm{(0,3)}$

为了找到 X 轴的切点，我们需要解决

$f(x)=0:$

$f(x)=x^2-4x+3$

$0=x^2-4x+3$

我们用以下公式计算二次方程的根：

$x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x=\cfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1} =\cfrac{4\pm 2}{2} = \begin{cases} 3 \\[2ex] 1 \end{cases}$

因此，该函数在两个点处切割 X 轴：

$\bm{(1,0) \qquad (3,0)}$

练习3

绘制以下二次函数的图形：

$f(x)=-x^2+4x+1$

查看解决方案

这是一个二次函数。因此，要表示它，您必须首先使用以下公式计算抛物线顶点的横坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-4}{2\cdot (-1)} = \cfrac{-4}{-2} = 2$

现在我们创建值表。为此，我们计算

$f(x)$

在顶部和顶部周围：

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2^2+4\cdot2+1 = 5$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-1^2+4\cdot1+1 = 4$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-3^2+4\cdot3+1 =4$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-0^2+4\cdot0+1 = 1$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=-4^2+4\cdot4+1 = 1$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 3 & 4 \\ 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}$

最后，我们在图表上绘制点并绘制抛物线：

二次函数示例

练习4

绘制以下二次函数的图形：

$f(x)=-2x^2-8x-1$

查看解决方案

这是二阶函数。因此，要表示它，您必须首先使用以下公式找到抛物线顶点的横坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-8)}{2\cdot (-2)} = \cfrac{+8}{-4} = -2$

现在我们构建值表。为此，我们计算

$f(x)$

在顶部和顶部周围：

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=-2(-2)^2-8\cdot(-2)-1 =7$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=-2(-1)^2-8\cdot(-1)-1= 5$

$x= -3 \ \longrightarrow \ f(-3)=-2(-3)^2-8\cdot(-3)-1= 5$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-2\cdot0^2-8\cdot0-1= -1$

$x= -4 \ \longrightarrow \ f(-4)=-2(-4)^2-8\cdot(-4)-1= -1$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 7 \\ -1 & 5 \\ -3 & 5 \\ 0 & -1 \\ -4 & -1 \end{array}$

最后，我们在图上绘制点并绘制抛物线：

二次函数的逐步求解练习

练习5

在图上绘制以下不完全二次函数：

$f(x)=x^2+2$

查看解决方案

它是二次多项式函数。因此，要表示它，您必须首先使用以下公式计算抛物线顶点的横坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-0}{2\cdot1} = \cfrac{0}{2} = 0$

在这种情况下，该函数是不完整的，因为它没有一次项。为了那个原因

$b=0 .$

现在我们制作值表。为此，我们计算

$f(x)$

在顶部和顶部周围：

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0^2+2=2$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1^2+2=3$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=(-1)^2+2=3$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2^2+2=6$

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=(-2)^2+2=6$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ -1 & 3 \\ 2 & 6 \\ -2 & 6 \end{array}$

最后，我们在图上绘制点并绘制抛物线：

解决了表示不完全二次函数的练习

练习6

解决以下与二次函数相关的问题：

生产产品的成本由以下函数定义：

$f(x)=x^2-12x+76$

金子

$x$

是生产的单位（以千为单位）和

$f(x)$

是单位的生产成本（以千欧元为单位）。

用图表表示生产成本函数。
确定应生产多少万件才能最大限度地降低成本。

查看解决方案

这是一个二次函数。因此，要表示它，您必须首先使用以下公式找到抛物线顶点的横坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-12)}{2\cdot 1} = \cfrac{12}{2} = 6$

现在我们制作值表。为此，我们计算

$f(x)$

在顶部和顶部周围：

$x= 6 \ \longrightarrow \ f(6)=6^2-12\cdot6+76 = 40$

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)=5^2-12\cdot5+76 = 41$

$x= 7 \ \longrightarrow \ f(7)=7^2-12\cdot7+76 = 41$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=4^2-12\cdot4+76 = 44$

$x= 8 \ \longrightarrow \ f(8)=8^2-12\cdot8+76 = 44$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 6 & 40 \\ 5 & 41 \\ 7 & 41 \\ 4 & 44 \\ 8 & 44 \end{array}$

现在我们在图上绘制点并绘制抛物线：

二次或抛物线函数问题

一旦函数被表示出来，我们就会看到成本被最小化了多少。

如图所示，在抛物线的顶部将达到最低成本。因为那是函数取最小值的地方。

总之，生产 6,000 件可将成本降至最低。

练习7

解决以下二次函数问题：

运动员进行标枪投掷，其轨迹可以用以下函数表示：

$h(x) = -0,025x^2+2x+2$

金子

$x$

标枪覆盖的米数是

$h$

它的高度（也以米为单位）。

标枪的最大高度是多少？

查看解决方案

这是一个二次函数，因此标枪的轨迹将是一条抛物线。

另外，由于二次项的系数为负（-0.025），因此抛物线将呈倒U形，并且其分支将向下。因此，标枪将在顶部达到最大高度，因为这将是抛物线的最高点。

因此，我们用以下公式计算抛物线顶点的横坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-2}{2\cdot (-0,025)} = \cfrac{-2}{-0,05} = 40$

然后我们通过评估函数来计算此时标枪的高度

$x=40:$

$h(40) = -0,025\cdot (40)^2+2\cdot 40+2 = 42$

因此，标枪可以达到的最大高度为 42 米。

练习8

解决以下有关二次函数的问题：

公司的生产成本（以欧元为单位）由以下函数定义：

$C(q)=40000+20q+q^2$

金子

$q$

是生产的单位。

每套售价为 520 欧元。

如果销售 150 台，公司将获得多少利润？
应该出售多少单位才能获得最大利润？

查看解决方案

该公司每售出一件产品即可赚取 520 欧元。因此，定义收入的函数为：

$I(q)=520\cdot q = 520q$

金子

$q$

是已售出的单位。

但他们问我们利润，即收入减去成本。因此，我们减去收入减去成本以获得描述公司利润的函数：

$B(q)=I(q)-C(q)$

$B(q)=520q - (40000+20q+q^2)$

$B(q)=520q - 40000-20q-q^2$

$B(q)=-q^2 + 500q - 40000$

一旦我们知道了描述公司利润的函数，只需将 150 代入函数表达式即可计算公司出售 150 单位将获得的利润：

$\begin{aligned} B(150) & =-(150)^2 + 500\cdot 150 - 40000 \\[2ex] & = -22500+75000 - 40000 \\[2ex] & = \bm{12500} \end{aligned}$

因此，通过销售 150 台，公司将获得 12,500 欧元的利润。

该声明还要求我们计算获得最大利润的单位数。

描述利润的函数是二次函数，因此它将具有抛物线的形状。由于二次项的系数为负（-1），因此抛物线将呈倒 U 形，并且其分支将向下。因此，最大收益将在顶部获得，因为这是抛物线的最高点。

因此，我们用以下公式计算抛物线顶点的横坐标：

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-500}{2\cdot(-1)} = \cfrac{-500}{-2} = 250$

因此，公司将通过销售 250 台获得最大利润。

另一方面，即使新闻稿没有要求，我们也可以确定出售这 250 单位将获得的利润：

$B(250) =-(250)^2 + 500\cdot250- 40000= 22500$

欧元

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