两条线之间的角度（公式）

在此页面上，您将找到如何计算两条线之间的角度（公式）的说明。您还可以看到几个示例，此外，您还可以通过逐步解决的练习进行练习。

两条线之间的角度是多少？

两条线之间的角度是这两条线之间的最小角度。

在平面图中，根据线之间形成的角度，有四种类型的线：相交线（0° 到 90° 之间）、垂直线（90°）、平行线（0°）和重合线（0°）。

相交线

相交线以 0° 到 90° 之间的锐角相交。

垂直直线

垂直线相交成 90° 直角。

平行线

平行线永远不会相交并且它们之间的角度为 0°。

重合线

两条重合线具有所有公共点，因此它们之间始终存在 0° 角度。

总之，两条平行线、重合线或垂直线之间的角度的计算是立即的：平行线和重合线由于方向相同而形成 0 度的角度，垂直线相交的角度为 90 度。另一方面，要找到两条相交线之间的角度，您必须应用公式（我们将在下面看到）。

两条线之间的角度是如何计算的？

有两种方法可以计算两条线之间的角度。第一种方法使用每条线的方向向量，第二种方法基于每条线的斜率。

这两种方法都不比另一种更好，事实上，两种方法都非常简单，但根据线条的表达方式，一种方法或另一种方法是否实用。因此，我们建议您了解如何使用这两种数学方法。

线矢量定向法

使用方向向量计算两条线之间的角度的公式为：

给定两条不同直线的方向向量：

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

这两条线之间的角度可以用以下公式计算：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

金子

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

和

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

是向量的模

$\vv{\text{u}}$

和

$\vv{\text{v}}$

分别。

请记住，矢量大小的公式是：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

让我们通过一个例子来看看如何找到两条线之间的角度：

计算以下两条线之间的角度：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=2-3t \\[2ex]y=1+4t \end{cases} \qquad s: \ 2x-5y+7=0$

要计算两条线之间的角度，必须首先找到每条线的方向向量。

正确的

$r$

以参数方程的形式表示，因此标记其方向的向量的分量为：

$\vv{r} = (-3,4)$

和法律

$\displaystyle s$

以隐式（或一般）方程的形式定义，因此其方向向量的坐标为：

$\vv{s} = (-B,A)$

$\vv{s} = (5,2)$

现在我们知道了每条线的方向向量，我们可以使用两条线之间的角度的公式：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

因此我们确定两个向量的大小：

$\displaystyle \lvert \vv{r} \rvert = \sqrt{(-3)^2+4^2}= 5$

$\displaystyle \lvert \vv{s} \rvert = \sqrt{5^2+2^2}= \sqrt{29}$

我们对角度公式进行向量运算：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert(-3,4) \cdot (5,2)\rvert}{5 \cdot \sqrt{29}}= \cfrac{\lvert-3 \cdot 5 + 4\cdot 2\rvert}{26,93} = \cfrac{7}{26,93} = 0,26$

最后，我们用余弦的倒数计算两条线形成的角度：

$\alpha= \text{cos}^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

请记住，您可以使用带有键的计算器来计算余弦的倒数

$\boxed{\cos ^{-1}}.$

斜率法

显然，要理解这种方法，您需要知道直线的斜率。您可以在链接中回顾这个概念，在这里您可以找到它的含义、计算方式、直线斜率的示例和已解决的练习的详细解释。

根据两条直线的斜率计算其夹角的公式为：

或者两条不同的线：

$r_1 : \ y=m_1 x+n_1 \qquad r_2: \ y=m_2 x+n_2$

这两条线之间的角度可以通过以下公式确定：

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \end{vmatrix}$

金子

$m_1$

和

$m_2$

是线的斜率

$r_1$

和

$r_2$

分别。

让我们通过一个例子来看看如何使用两条线的斜率来计算它们之间的角度：

求下列两条线之间的角度：

$\displaystyle r: \ y=4x-2 \qquad s: \ y=-3x+1$

每条线的斜率是变量之前的数字

$x:$

$m_r = 4$

$m_s = -3$

因此，可以通过应用斜率公式找到两条线之间的角度：

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{m_s-m_r}{1+m_r\cdot m_s} \end{vmatrix}$

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{-3-4}{1+4\cdot (-3)} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cfrac{-7}{-11} \end{vmatrix} = 0,64$

最后我们找到切线的倒数的角度：

$\alpha= \text{tg}^{-1}(0,64) = \bm{32,62º}$

请记住，您可以使用带有键的计算器来计算正切的倒数

$\boxed{\tan ^{-1}}.$

我们刚刚看到了一个示例，其中两条直线的斜率表示为显式方程，但如果它们采用点斜率方程的形式，则必须使用相同的过程。

解决两条线之间的角度问题

练习1

确定下列两条直线形成的角度：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+t \\[2ex]y=-3-2t \end{cases} \qquad s: \ \begin{cases} x=4t \\[2ex]y=-1-t \end{cases}$

查看解决方案

在这种情况下，我们将使用方向向量方法。因此，我们首先要求出每条直线的方向向量。两条线都表示为参数方程，因此它们的方向向量的分量就是参数前面的项

$t:$

$\vv{r} = (1,-2)$

$\vv{s} = (4,-1)$

现在我们知道了每条线的方向向量，我们可以使用两条线之间的角度的公式：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

因此我们确定两个向量的大小：

$\displaystyle \lvert \vv{r} \rvert = \sqrt{1^2+(-2)^2}= \sqrt{5}$

$\displaystyle \lvert \vv{s} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

我们求解分子的两个向量与分母的模的乘法之间的标量积：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert(1,-2) \cdot (4,-1)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{17}}= \cfrac{\lvert 1 \cdot 4 + (-2)\cdot (-1)\rvert}{9,22} = \cfrac{6}{9,22} = 0,65$

最后，我们通过余弦的倒数找到两条线形成的角度：

$\alpha= \text{cos}^{-1}(0,65) = \bm{49,40º}$

练习2

求下列两条线之间的角度：

$\displaystyle r: \ -3x+4y+1=0 \qquad s: \ \cfrac{x-1}{6} = \cfrac{y+5}{3}$

查看解决方案

我们将使用方向向量方法来解决这个问题，所以首先我们需要找到每条线的方向向量。正确的

$r$

以一般（或隐式）方程的形式表示，使得标记其方向的向量的分量为：

$\vv{r} = (-B,A)$

$\vv{r} = (-4,-3)$

和法律

$\displaystyle s$

以连续方程的形式定义，因此其方向向量的笛卡尔坐标就是分母的数字：

$\vv{s} = (6,3)$

一旦我们知道了每条线的方向向量，我们就可以使用两条线之间的角度的公式：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

因此我们确定两个向量的模：

$\displaystyle \lvert \vv{r} \rvert = \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}= 5$

$\displaystyle \lvert \vv{s} \rvert = \sqrt{6^2+3^2}= \sqrt{45}$

我们对角度公式的向量之间进行运算：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{r} \cdot \vv{s}\rvert}{\lvert \vv{r} \rvert \cdot \lvert \vv{s} \rvert}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert(-4,-3) \cdot (6,3)\rvert}{5 \cdot \sqrt{45}}= \cfrac{\lvert -4 \cdot 6 + (-3)\cdot 3\rvert}{33,54} = \cfrac{33}{33,54} = 0,98$