三角极限

在这里您将了解如何求解三角极限。您将能够看到三角函数极限的几个示例，甚至可以通过解决三角函数极限的分步练习进行练习。

什么是三角极限？

三角极限是根据三角函数计算的极限。为了解决三角极限，必须应用初步程序，因为它们通常会引起不确定性。

此外，三角函数的无限极限不存在，因为它们是周期函数。也就是说，它的图表不断周期性地重复，而不趋向于特定值。

三角极限公式

所有三角极限均通过以下两个公式计算：

如果我们尝试通过替换来计算极限，我们会得到零之间的零不确定性：

但这个三角公式可以通过计算更接近的函数值和更接近x=0（以弧度表示的角度）来证明。

三角函数的两个横向极限为 1，因此 x=0 点处的极限为 1：

因此，当 x 趋于 0 时，x 的正弦除以 x 的三角极限等于 1。

这个公式也可以应用于多个角度：

如果我们尝试通过直接替换来求极限，我们会得到零之间的不定形式零：

但我们可以从上面的公式来检验是否相等。为此，您必须首先将分数的分子和分母乘以 1 加上 x 的余弦：

现在我们在分数的分子中有显着的恒等式，因此我们可以简化它：

从基本的三角恒等式开始，我们重写分子：

因此，我们可以将分数转换为分数的乘积：

利用极限的性质，我们可以将上面的表达式转换为极限的乘积：

使用上面演示的公式，我们可以轻松简化三角极限：

最后，我们计算结果极限：

因此，三角极限公式得到验证：

与其他公式一样，它也可以用于多个角度：

因此，要求解三角极限，就必须用算术对函数进行变换，得到类似的表达式。这样我们就可以使用两个公式之一并找到极限值。

另一方面，有时我们可能需要应用某些三角恒等式，因此我们将以下所有公式留给您

连接三个主要三角比率的公式：

基本三角恒等式：

由基本三角关系导出：

对角：

两个角度之和：

两个角度之差：

双角：

半角：

正弦和余弦的加法和减法：

正弦和余弦的乘积：

为了让您能够准确地了解三角极限是如何计算的，我们在下面整理了一个分步示例。

三角极限示例

让我们看看如何使用以下示例求解三角极限：

尝试计算三角极限，我们得到零与零之间的不确定性：

➤请参阅： 零之间的零限制

因此需要对三角函数进行变换来求解极限。正切函数等于正弦除以余弦，因此：

现在我们可以通过应用分数的性质将函数表示为乘积：

利用极限的性质，我们可以将两个相乘函数的极限转换为两个极限的乘积：

正如我们上面所展示的，第一个三角极限给出 1：

因此只需进行以下计算：

解决了三角极限的练习

练习1

求解以下三角极限：

首先，我们尝试通过直接求值来计算三角极限：

但我们的不确定性为零。所以我们需要对函数进行变换。

首先，我们将通过执行以下操作将 x 保留在分母中：

现在我们将分数乘以 4 并除以 4，得到一个表达式，可以应用第一个三角极限公式：

最后，我们应用一开始看到的公式来求解三角极限：

练习2

计算以下三角极限：

首先，我们尝试找到三角极限：

但不定形式“零”对应于“零”已达到。

然后，我们将正切转换为正弦和余弦的商：

我们乘以和除以 x 的余弦：

我们在分子中取一个公因数，然后将三角极限一分为二：

最后，我们求出三角极限的结果：

练习3

当 x 接近零时，求解以下三角函数的极限：

通过直接计算，我们得到 0 之间的不确定极限 0：

因此，我们将每一项除以 x 的正切来简化极限：

其次，我们可以从基本三角恒等式推导出分子的分数等于 x 的余弦：

并且应用三角极限理论中演示的第二个公式，我们可以轻松求解极限：

练习4

求下列三角极限在点 x=0 处的解：

如果我们尝试求解极限，我们会找到不定形式 0/0：

分子的代数表达式可以使用双角正弦的三角恒等式重写：

现在让我们将三角函数的极限分解为乘积：

最后，我们通过应用极限的性质来求解三角极限：