双曲余弦的导数

在本文中，我们将解释如何导出函数的双曲余弦。此外，您还会找到双曲余弦导数的示例，最后，我们将向您展示此类三角导数的公式。

双曲余弦推导公式

x 的双曲余弦的导数是 x 的双曲正弦。

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

因此，函数的双曲余弦导数等于该函数的双曲正弦与该函数的导数的乘积。

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

第二个公式与第一个公式相同，唯一的区别是第二个公式应用了链式法则。所以，第一个公式只能用来推导x的双曲余弦，而第二个公式可以用来推导任何类型函数的双曲余弦。

正如您所看到的，双曲余弦导数的公式与余弦导数的公式不同，尽管它们有一些相似之处。

给定双曲余弦导数的公式，我们求解下面此类三角函数的导数的几个示例。请记住，您可以在评论中提出任何问题。

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

在此示例中，双曲余弦的参数中有一个与 x 不同的函数，因此我们必须使用链式法则对双曲余弦求导的公式：

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

2x 的导数是 2，因此 2x 的双曲余弦的导数是 2x 乘以 2 的双曲正弦。

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

正如我们在上面看到的，双曲余弦函数的导数规则是：

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

因此，我们一方面推导出二次函数 x ² ，它给出 2x，然后我们计算整个函数的导数：

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

最后，我们将向您展示从双曲余弦导出的公式，以便您了解它的来源。如果我们从双曲余弦的表达式开始：

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

我们从表达式两边推导出：

$\displaystyle\bigl(\text{cosh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'$

右边有除法，所以我们应用商的导数公式来求导数：

$\displaystyle\text{cosh}'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

如果仔细观察，得到的表达式与双曲正弦的表达式相对应，这意味着以下等式是等效的：

$\displaystyle\text{cosh}'(x)=\text{senh}(x)$

这样我们就得出了双曲余弦导数的规则，并且它已经被证明了。