三个向量的混合积（或三重点积）

在此页面上，我们解释什么是三个向量的混合积（或三重点积）以及它的计算方法。您还将看到有关向量之间此类运算的示例、练习和已解决的问题。此外，您还会发现混合产品的特性和应用。

三个向量的混合积是多少？

三个向量的混合积，也称为三重点积，是三个向量之间的连续乘法，涉及两种不同类型的运算： 点积和向量积。因此，两个向量运算的组合给出一个标量（实数）。

具体地，混合乘积包括计算两个向量的向量乘积，并且随后将所获得的结果与第三向量相乘。这样写看起来可能很复杂，但实际上并没有那么复杂，看一下三点积公式：

正如您在其公式中看到的，三个向量的混合乘积由两个方括号表示。

如何计算三个向量的混合积？

三点积公式是我们在上一节中看到的公式，但是，它通常不用于确定三个向量的混合积，因为还有另一种更简单、更快的方法：

所以你可以看一个如何计算的例子，我们将找到以下三个向量的混合乘积：

为了确定混合乘积，我们通过将向量放置在矩阵的行中来构造 3 阶行列式：

现在我们只需要求解矩阵的行列式，为此你可以使用任何方法。在这种情况下，我们将应用 Sarrus 规则（但这也可以通过添加或辅助因子来完成）：

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为了证明这两个过程是等价的，我们将根据它们的定义来计算相同向量的混合积：

我们建议通过向量的行列式来计算混合乘积，因为它更快并且出错的机会更少。但是，正如您所看到的，无论您使用哪种方法，结果都是相同的，因此请使用您喜欢的方法。 👍

混合产品的几何解释

一旦您知道如何求三个向量的混合积，您可能会想……混合积的用途是什么？嗯，在数学中它有两个主要用途：计算平行六面体的体积和四面体的体积。

平行六面体的体积等于标记几何场的 3 个维度的向量的混合乘积的绝对值。

混合乘积的另一个应用是确定四面体的体积。因为在几何上，混合乘积绝对值的第六部分代表四面体的体积：

混合积或三点积的性质

混合乘积或三标量乘积具有以下特征：

• 一般来说，混合乘积向量顺序的变化也意味着符号的变化。因此，混合乘积向量的顺序很重要。

• 然而，如果我们循环改变顺序，符号不会改变：

• 在三维空间（R3 中）中，三个线性相关或共面向量（属于同一平面）的混合积等于 0。

修复了混合产品问题

练习1

给定 3 个向量：

计算三个向量的混合积：

为了找到它的混合积，我们必须求解由向量坐标组成的行列式：

练习2

给定 3 个向量：

确定三个向量之间的混合积：

为了找到它的混合乘积，我们需要求解具有线性形式向量的笛卡尔坐标的行列式：

练习3

计算 3 条边为以下向量的平行六面体的体积：

平行六面体的体积等于其作为边的 3 个向量的混合乘积的绝对值。因此，我们首先计算向量的三重叉积：

这样平行六面体的体积就是混合乘积结果的绝对值：

练习4

计算顶点为以下点的四面体的体积：

首先，我们计算代表四面体边缘的向量：

四面体的体积等于其 3 个边向量的混合乘积绝对值的六分之一。因此，我们首先计算找到的向量的混合积：

因此，四面体的体积将是混合乘积绝对值的六分之一：