Calculer le produit scalaire de deux vecteurs -

Sur cette page, vous verrez ce que c’est et comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Vous découvrirez également comment trouver l’angle entre deux vecteurs à l’aide du produit scalaire et, en plus, toutes les propriétés du produit scalaire. Enfin, vous pourrez vous entraîner avec des exemples et des exercices résolus pas à pas.

Comment calculer le produit scalaire entre deux vecteurs

En mathématiques, le produit scalaire est une opération vectorielle qui multiplie deux vecteurs et les transforme en un nombre réel. Ainsi, il existe deux manières de calculer le produit scalaire de deux vecteurs :

Si nous connaissons les coordonnées de deux vecteurs, nous pouvons trouver leur produit scalaire en multipliant les composants X et Y ensemble, puis en ajoutant les résultats. Autrement dit, si nous avons deux vecteurs :

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Le produit scalaire entre eux est :

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Par exemple, le produit scalaire entre les deux vecteurs suivants est :

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

C’est un moyen de trouver le produit scalaire entre deux vecteurs. Cependant, il existe également une autre méthode :

Par contre, si on connaît le module et l’angle entre deux vecteurs, le produit scalaire entre les deux vecteurs peut être déterminé en calculant le produit de leurs modules par le cosinus de l’angle qu’ils forment :

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Où

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$ et $\lvert \vv{\text{v}} \rvert$ sont les modules des vecteurs $\vv{\text{u}}$ et $\vv{\text{v}}$ respectivement et $\alpha$ l’angle qu’ils font.

Rappelons que la grandeur d’un vecteur est la racine des carrés de ses composantes :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

A titre d’exemple, nous allons résoudre le produit scalaire de deux vecteurs dont les modules et l’angle entre eux sont :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

D’autre part, le produit scalaire est également appelé produit scalaire, produit scalaire ou produit scalaire.

Remarque : ne confondez pas le produit scalaire avec le produit croisé car, bien qu’ils aient des noms similaires, ce sont des concepts totalement différents.

Trouver l’angle entre deux vecteurs à l’aide du produit scalaire

Une fois que nous avons vu la définition du produit scalaire, vous vous demandez peut-être à quoi sert la multiplication de deux vecteurs ? Eh bien, l’une des applications du produit scalaire est de calculer l’angle formé par deux vecteurs.

angle entre deux vecteurs du produit scalaire

En résolvant le cosinus de la formule du produit scalaire, on obtient :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Voyons comment cela se fait à travers un exemple :

Trouvez l’angle entre les deux vecteurs suivants :

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Nous devons d’abord trouver la magnitude des deux vecteurs:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Maintenant, nous utilisons la formule pour calculer le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Enfin, on trouve l’angle correspondant en faisant l’inverse du cosinus à l’aide de la calculatrice :

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Par conséquent, les vecteurs forment un angle de 74,93º.

Propriétés du produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire a les caractéristiques suivantes :

Propriété commutative : L’ordre dans lequel les vecteurs sont multipliés n’a pas d’importance.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Propriété distributive : Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition et à la soustraction de vecteurs :

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Propriété associative : On peut multiplier le produit scalaire par une constante avant ou après avoir effectué l’opération, puisque les résultats sont équivalents :

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Si deux vecteurs sont orthogonaux (ou perpendiculaires), alors leur produit scalaire est nul. Cette propriété peut être facilement démontrée car deux vecteurs perpendiculaires font un angle de 90º, et le cosinus de 90º est égal à 0 :

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Au contraire, si deux vecteurs sont parallèles alors leur produit scalaire est le même que le produit de leurs modules. Cette propriété peut également être vérifiée facilement puisque deux vecteurs de même direction forment un angle de 0º, dont le cosinus est égal à 1 :

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Enfin, le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est équivalent à sa grandeur au carré :

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Problèmes résolus de produits scalaires entre deux vecteurs

Exercice 1

Calculez le produit scalaire dans le plan des deux vecteurs suivants :

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

voir solution

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, nous devons multiplier leurs coordonnées X et leurs coordonnées Y entre elles, puis additionner les résultats :

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Exercice 2

Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs dont les modules et l’angle qu’ils forment sont :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

voir solution

Puisque nous connaissons leurs modules et leur angle entre eux, nous pouvons directement appliquer la formule du produit scalaire :

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Exercice 3

Quel est l’angle entre les deux vecteurs suivants ?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

voir solution

Tout d’abord, nous devons calculer la magnitude des deux vecteurs :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Nous utilisons la formule pour calculer le cosinus de l’angle formé par les vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

Et, enfin, on trouve l’angle correspondant en faisant l’inverse du cosinus avec la calculatrice :

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Exercice 4

Soit les deux vecteurs suivants :

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Calculez l’opération suivante :

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

voir solution

Nous devons d’abord résoudre le produit scalaire à l’intérieur des parenthèses, puis faire la multiplication par le scalaire à l’extérieur :

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Exercice 5

Étant donné les trois vecteurs bidimensionnels suivants :

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Calculez l’opération suivante :

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

voir solution

Tout d’abord, nous multiplions les vecteurs par les scalaires entre parenthèses :

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Maintenant, nous faisons la soustraction vectorielle :

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

Et, pour finir, on résout le produit scalaire :

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Exercice 6

Calculer la valeur de

$k$ de sorte que les vecteurs suivants soient perpendiculaires :

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

voir solution

Deux vecteurs perpendiculaires forment un angle de 90º. Donc le cosinus de l’angle doit être nul, puisque cos(90º)=0. Pourtant:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Le dénominateur de la fraction divise tout le côté droit de l’équation, nous pouvons donc le passer en multipliant de l’autre côté :

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

On résout maintenant le produit scalaire :

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

Et, enfin, nous clarifions l’inconnu :

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Exercice 7

Calculer les angles

$\alpha , \beta$ et $\gamma$ qui forment les côtés du triangle suivant :

exercices et problèmes résolus pas à pas du produit scalaire de deux vecteurs

voir solution

Les sommets qui composent le triangle sont les points suivants :

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Pour calculer les angles internes du triangle, nous pouvons calculer les vecteurs de chacun de ses côtés, puis trouver l’angle qu’ils forment grâce à la formule du produit scalaire.

Par exemple, pour trouver l’angle

$\alpha$ On calcule les vecteurs de ses côtés :

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Et nous trouvons l’angle formé par les deux vecteurs en utilisant la formule du produit scalaire :

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Maintenant, nous répétons la même procédure pour déterminer l’angle

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Enfin, pour trouver le dernier angle, nous pouvons refaire la même procédure. Cependant, tous les angles d’un triangle doivent totaliser 180 degrés, donc :

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Comment calculer le produit scalaire entre deux vecteurs

Trouver l’angle entre deux vecteurs à l’aide du produit scalaire

Propriétés du produit scalaire de deux vecteurs

Problèmes résolus de produits scalaires entre deux vecteurs

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Leave a Comment Cancel Reply