Qu’est-ce que la moyenne arithmétique et comment est-elle calculée ? La moyenne est une valeur numérique obtenue en additionnant un ensemble donné de nombres et en divisant le résultat par le nombre de valeurs. Par exemple, si nous voulons calculer la moyenne arithmétique des données 2, 4, 1 et 6, alors nous devons faire le calcul suivant : (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 3. Plus loin dans cet article, nous expliquerons plus en détail comment trouver la moyenne d’un ensemble de nombres. De plus, vous aurez à votre disposition le calculateur de moyenne arithmétique suivant, afin que vous puissiez vérifier si vos résultats sont corrects.
Calculatrice moyenne en ligne
Si vous souhaitez calculer la moyenne d’une série de nombres, vous pouvez utiliser ce calculateur de moyenne arithmétique en ligne , grâce auquel vous pourrez vérifier les résultats de vos exercices et savoir si vous les avez correctement résolus. Son utilisation est très simple, puisque vous n’avez qu’à entrer les nombres qui composent l’ensemble (séparés par des virgules) et ensuite vous devez cliquer sur le bouton calculer. N’oubliez pas d’entrer des nombres décimaux avec un point (pas une virgule).
Comment calculer la moyenne arithmétique ?
Il existe une formule pour la moyenne arithmétique qui nous permet de la calculer en fonction de n'importe quelle série ou ensemble de nombres :
Par exemple, si vous souhaitez calculer la moyenne d'un ensemble de nombres [1, 4, 7, 2, 5, 10], il vous suffit de les additionner et de diviser ce résultat par le nombre de valeurs que vous avez précédemment ajoutées : (1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 10) / 6 = 5. Bien que parfois nous devrons calculer la moyenne arithmétique des valeurs d'un tableau de fréquence . Dans ces cas, nous devons appliquer la même formule, mais en multipliant chaque nombre par le nombre de fois qu'il apparaît (sa fréquence absolue ) et en égalant N à la somme des fréquences absolues. Par exemple, (1 x 4 + 3 x 2 + 5 x 4) / (4 + 2 + 4) = 3.
On peut aussi exprimer cette formule comme la somme de N de base i (Σ i N ) puis divisée par N. Cette dernière expression est une autre façon de dire la même chose que dans l'image ci-dessus. Bien que cela se trouve généralement davantage dans les manuels de mathématiques, c'est pourquoi il est important de le savoir.
Propriétés de la moyenne arithmétique
- Somme des écarts : la somme des écarts de toutes les données par rapport à la moyenne de l'ensemble est égale à zéro, de cette propriété on peut déduire la formule suivante Σ(X i - x̄) = 0.
- Somme des carrés des écarts : Lorsque nous additionnons les carrés des écarts de toutes les données de la moyenne arithmétique, nous obtenons une valeur numérique minimale. Alors Σ(X i - x̄) 2 ≤ Σ(X i - a) 2 , a ∈ ℝ.
- Moyenne arithmétique équivalente : si nous ajoutons une valeur x à toutes les valeurs qui composent l'ensemble numérique, alors la moyenne de ces nombres sera égale à la somme de la moyenne arithmétique précédente et du nombre qui a été ajouté : x̄ = x̄ 0 +a. Cela se produit également dans le cas du produit.
applications de la moyenne
En général, nous utilisons cette ressource mathématique pour calculer une valeur représentative de notre ensemble , avec laquelle nous pouvons comprendre de manière simplifiée le comportement du groupe numérique. Un exemple serait de calculer la note moyenne de la classe, de cette façon nous pourrons connaître un score indicatif du nombre total d'étudiants. Nous utilisons également généralement la moyenne dans les expériences scientifiques, car nous devrons souvent collecter plusieurs résultats et les moyenner pour en avoir un plus précis.
Problèmes résolus de la moyenne arithmétique
Ensuite, nous allons vous présenter quelques exercices sur les trois principaux types de moyenne arithmétique, rappelez-vous qu'ils sont tous résolus avec les méthodes expliquées dans cet article . Et si vous le souhaitez vous pouvez faire la partie numérique (calculs) avec la calculatrice ci-dessus et avec notre calculateur en ligne . Cela dit, nous vous laissons pratiquer :
moyenne arithmétique de base
Calcule la moyenne arithmétique de l'ensemble de données suivant [2, 5, 3, 7, 6, 1]. Une fois que vous l'avez fait, vous devez calculer la moyenne du même groupe de nombres, mais tous multipliés par 2 :
Pour résoudre la première section nous devrons simplement utiliser la formule que nous avons commentée un peu plus haut : x̄ = (2 + 5 + 3 + 7 + 6 + 1) / 6 = 4. Et pour calculer la moyenne dans la deuxième section, nous devrons faire le même calcul mais en multipliant chaque nombre par 2 : (2 x 2 + 5 x 2 + 3 x 2 + 7 x 2 + 6 x 2 + 1 x 2) / 6 = 8. Comme nous pouvons le voir, le résultat de la moyenne est double dans le second cas, ce qui était prévisible car la propriété du produit équivalent est vérifiée.
Moyenne arithmétique pour les données groupées
Les notes en mathématiques de quinze élèves sont : 5, 8, 7, 4, 9, 3, 6, 8, 7, 8, 9, 7, 5, 8, 8. Calculez la moyenne de la classe :
Dans ce cas nous devrons compter combien de fois chaque nombre apparaît dans la liste puis nous résoudrons le calcul avec la formule de la moyenne arithmétique appliquée aux données groupées (formule dans laquelle intervient la fréquence absolue) : x̄ = (3 x 1 + 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 1 + 7 x 3 + 8 x 5 + 9 x 2) / 15 = 6,8. En conclusion, nous pouvons voir que malgré quelques scores élevés, les valeurs faibles ont un effet très négatif sur la moyenne générale.
Calcul à partir d'une moyenne connue
Si nous savons que la moyenne de deux nombres est égale à 9,25 et que l'un des deux nombres est 6, quel sera le deuxième nombre ?
Pour calculer la deuxième valeur, nous devrons établir une équation à partir de la formule que nous avons utilisée tout le temps dans les exercices : (6 + x) / 2 = 9,25. Enfin nous isolerons x et nous obtiendrons sa valeur numérique, qui est équivalente à celle du second nombre. Dans ce cas x = 12,5.