وظيفة الظل

ستجد في هذه الصفحة كل شيء عن دالة الظل: ما هي، ما هي صيغتها، كيفية تمثيلها في الرسم البياني، خصائص الدالة، دورتها، إلخ. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية أمثلة على وظائف الظل لفهم المفهوم بشكل كامل. حتى أنه يشرح نظرية الظل والعلاقات التي تربط دالة الظل مع العلاقات المثلثية الأخرى.

صيغة دالة الظل

دالة الظل للزاوية α هي دالة مثلثية يتم تعريف صيغتها على أنها النسبة بين الفرع المقابل والفرع المجاور (أو المجاور) للمثلث القائم (مثلث ذو زاوية قائمة).

ويسمى هذا النوع من الوظائف الرياضية أيضًا دالة تماسي أو تانجينويد أو عرضية. ويمكن التعبير عنها بالاختصار “tg” أو حتى “tan”.

دالة الظل هي واحدة من أفضل ثلاث نسب مثلثية معروفة، بالإضافة إلى جيب التمام وجيب التمام للزاوية.

القيم المميزة لوظيفة الظل

هناك زوايا معينة تتكرر بشكل متكرر، وبالتالي من المناسب معرفة قيمة دالة الظل عند هذه الزوايا:

من ناحية أخرى، يمكن ربط دالة الظل بدوال الجيب وجيب التمام من خلال الهوية المثلثية الأساسية التالية:

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

وبالتالي فإن إشارة دالة الظل تعتمد على الربع الذي تقع فيه الزاوية:

إذا كانت الزاوية تنتمي إلى الربع الأول، فسيكون ظلها موجبًا، لأنه في هذا الربع يكون الجيب وجيب التمام موجبين أيضًا.
إذا وقعت الزاوية في الربع الثاني، فسيكون مماسها سالباً، لأنه في هذا الربع يكون الجيب موجباً وجيب التمام سالباً.
إذا كانت الزاوية في الربع الثالث، فسيكون مماسها موجبًا، لأن الجيب وجيب التمام في هذا الربع سالبان.
إذا كانت الزاوية في الربع الرابع، فسيكون ظلها سالبًا، لأنه في هذا الربع يكون الجيب سالبًا وجيب التمام موجبًا.

تمثيل رسومي لوظيفة الظل

باستخدام جدول القيم الذي رأيناه في القسم السابق، يمكننا رسم دالة الظل بيانيًا. وبرسم دالة الظل نحصل على:

كما ترون من الرسم البياني، فإن قيم صور دالة الظل غير محدودة، على عكس دوال الجيب وجيب التمام. بالإضافة إلى ذلك، تتكرر القيم كل 180 درجة (π راديان)، لذا فهي دالة دورية دورتها 180 درجة.

من ناحية أخرى، في هذا الرسم البياني يمكننا أن نرى أن دالة الظل غريبة ، لأن عناصرها المتقابلة لها صور متقابلة، أو بمعنى آخر، فهي متناظرة حول الأصل (0،0). على سبيل المثال، ظل الزاوية 45° يساوي 1 وظل الزاوية -45° يساوي -1.

أخيرًا، يمكننا أيضًا أن نرى أن دالة الظل لها خطوط مقاربة رأسية . على سبيل المثال، يقترب جدًا من خط x=90° لكنه لا يلمسه أبدًا، ويحدث نفس الشيء كل 180 درجة. وهذا يعني أن نهاية الدالة عند هذه النقاط تميل إلى ما لا نهاية.

خصائص وظيفة الظل

تتميز دالة الظل بالخصائص التالية:

مجال دالة الظل هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء النقاط التي يوجد فيها خط مقارب رأسي:

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

مدى أو نطاق دالة الظل كلها أعداد حقيقية.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

إنها دالة مستمرة وغريبة بدورية π.

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

هذا النوع من الدوال المثلثية له نقطة تقاطع واحدة مع المحور y (المحور Y) عند النقطة (0,0).

$(0,0)$

بدلاً من ذلك، فإنه يعترض بشكل دوري الإحداثي السيني (المحور X) عند عدة إحداثيات لـ pi.

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

الدالة تتزايد بشكل صارم على المجال بأكمله، لذلك ليس لها حد أقصى أو أدنى.

مشتقة الظل هي :

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

وأخيرًا، تكامل دالة الظل هو:

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

فترة وظيفة الظل

على عكس الدوال المثلثية الأخرى مثل الجيب وجيب التمام، فإن دالة الظل ليس لها مقدار لأنها لا تحتوي على قيمة عظمى ولا قيمة صغرى. إلا أنها دالة دورية، أي أن قيمها تتكرر بتكرار كما رأينا في الرسم البياني الخاص بها.

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

دورة دالة الظل هي المسافة بين نقطتين يتكرر عندهما الرسم البياني، ويتم حسابها بالصيغة التالية:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

نظرية الظل

على الرغم من أن صيغة الظل تُستخدم عادة في المثلثات القائمة، إلا أن هناك أيضًا نظرية يمكن تطبيقها على أي نوع من المثلثات: نظرية الظل.

تربط نظرية الظل أضلاع وزوايا أي مثلث على النحو التالي:

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

علاقات دالة الظل بالنسب المثلثية الأخرى

ستجد أدناه علاقات المماس مع أهم النسب المثلثية في علم المثلثات.

العلاقة مع الثدي

يرتبط ظل الزاوية وجيبها كما يلي:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

نسبة جيب التمام

وبالمثل، فإن الظل وجيب التمام للزاوية يرتبطان بالمساواة التالية:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

العلاقة مع قاطع التمام

على الرغم من صعوبة إثباته، إلا أنه يمكن حل المماس بحيث يعتمد فقط على قاطع التمام:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

العلاقة مع القاطع

يرتبط مماس وقاطع الزاوية بالمعادلة التالية:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

العلاقة مع ظل التمام

الظل وظل التمام هما معكوسان مضاعفان:

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$