المتجهات المتوازية

ستجد في هذه الصفحة كل شيء عن المتجهات المتوازية: ماذا تعني، عندما يكون متجهان متوازيين، كيفية العثور على متجه موازٍ لمتجه آخر، خصائص هذا النوع من المتجهات،… بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من المتجهات أمثلة وحل تمارين المتجهات المتوازية.

ما هي المتجهات المتوازية؟

المتجهات المتوازية هي ناقلات لها نفس الاتجاه. بمعنى آخر، يكون المتجهان متوازيين إذا كانا موجودين في خطين متوازيين. ولذلك فإن متجهين متوازيين يشكلان زاوية بينهما 0 أو 180 درجة.

على سبيل المثال، المتجهات الثلاثة التالية متوازية:

علاوة على ذلك، فإن توازي متجهين يعتمد فقط على اتجاههما. أي أن المتجهين يكونان متوازيين إذا تطابقا في الاتجاه، سواء كان لهما نفس الاتجاه أو الاتجاه المعاكس. ويحدث الشيء نفسه مع المقياس (أو المقدار)، حيث يمكن أن يكون للمتجهين معاملات مختلفة وأن يكونا متوازيين.

من ناحية أخرى، عندما يكون هناك متجهان لهما نفس الاتجاه ولكن معاكسين، يطلق عليهما ناقلات مضادة للتوازي .

كيف يمكنك معرفة ما إذا كان هناك متجهان متوازيان؟

يكون المتجهان متوازيين عندما يكونان متناسبين. ومن ثم، لمعرفة ما إذا كان المتجهان متوازيين، علينا تحديد ما إذا كانت مركباتهما متناسبة أم لا.

سنرى كيفية معرفة ما إذا كان هناك متجهان متوازيان من خلال تمرينين مختلفين، أحدهما به متجهات ذات إحداثيتين والآخر به متجهات ذات 3 إحداثيات.

مثال على المتجهات الموازية للمستوى (في R2)

حدد ما إذا كان المتجهان التاليان متوازيين:

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

لمعرفة ما إذا كانت متجهات متوازية بالفعل، يجب أن نرى ما إذا كانت إحداثياتها الديكارتية متناسبة:

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

إن تقسيم مكونات X ومكونات Y بينهما يعطي نفس النتيجة (-2)، وبالتالي فإن المتجهين متناسبان وبالتالي متوازيان أيضًا.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

لاحظ أنه في الرياضيات، عندما يكون عنصران هندسيان متوازيين، تتم الإشارة إلى ذلك بواسطة شريطين رأسيين (II).

مثال على المتجهات المتوازية في الفضاء (في R3)

اكتشف ما إذا كان شرط التوازي قد تم استيفاءه في المتجهين التاليين:

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

لتحديد ما إذا كانت متجهات متوازية بالفعل، يجب علينا التحقق مما إذا كانت إحداثيات المتجهات متناسبة:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

تتناسب مكونات X ومركبات Y للمتجهات مع بعضها البعض لأنه بتقسيمها نحصل على نفس النتيجة، من ناحية أخرى، فهي لا تتناسب مع المكون Z. ولذلك فإن المتجهات ليست متناسبة مع الكل، وبالتالي فهي ليست متوازية .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

كيفية حساب ناقلات متوازية؟

للعثور على متجه موازٍ لمتجه آخر، ما عليك سوى ضربه في عدد قياسي (رقم حقيقي) غير الصفر (0). وبالتالي، يوجد عدد لا نهائي من المتجهات الموازية لبعضها البعض، حيث يمكن ضرب المتجه بعدد لا نهائي من الأعداد.

على سبيل المثال، سنقوم بحساب عدة متجهات متوازية للمتجه التالي:

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

نتيجة جميع المنتجات التالية هي متجهات موازية للمتجه السابق:

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

خصائص المتجهات المتوازية

تتميز المتجهات المتوازية بالخصائص التالية:

الخاصية الانعكاسية : كل متجه يوازي نفسه.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

خاصية التناظر : إذا كان المتجه موازيا لمتجه آخر، فإن هذا المتجه يكون موازيا للأول أيضا. هذه الخاصية تمتلكها أيضًا المتجهات المتعامدة .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

خاصية متعدية : إذا كان المتجه موازيا لمتجه آخر، وكان هذا المتجه الثاني موازيا لمتجه ثالث، فإن المتجه الأول يوازي أيضا المتجه الثالث.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

حاصل الضرب النقطي لمتجهين متوازيين يساوي حاصل ضرب معامليهما. يمكنك التحقق من سبب حدوث هذا الشيء بالتحديد في خصائص المنتج النقطي .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

هناك متجهان متوازيان يعتمدان دائمًا خطيًا. هذا المفهوم مهم جدًا، لذا إذا كنت لا تعرفه، يمكنك الرجوع إلى ما هما المتجهان المعتمدان خطيًا .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$