نقطة المعادلة – ميل الخط

في هذه الصفحة، ستجد صيغة معادلة نقطة الميل للخط، وكذلك الطرق المختلفة الموجودة لحسابها. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

صيغة معادلة نقطة الميل للخط

معادلة نقطة الميل للخط هي طريقة للتعبير عن الخط رياضيًا. على وجه الخصوص، ما عليك سوى ميل وإحداثيات نقطة على الخط لإيجاد معادلة نقطة الميل للخط.

صيغة معادلة نقطة الميل للخط هي كما يلي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

ذهب

$m$

هو ميل الخط و

$x_0, y_0$

هي إحداثيات نقطة على الخط

$P(x_0,y_0).$

دعونا نرى كيف يتم حساب معادلة نقطة الميل للخط باستخدام مثال:

اكتب معادلة النقطة والميل للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة
$P(2,-1)$

والمنحدر م = 3.

صيغة معادلة نقطة الميل للخط هي كما يلي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

في هذه الحالة، تخبرنا العبارة أن ميل الخط هو m=3، وبالتالي تكون معادلة الخط كما يلي:

$y-y_0=3(x-x_0)$

علاوة على ذلك، نعلم أيضًا أن الخط المستقيم يمر بالنقطة

$P(2,-1)$

لذا يجب علينا التعويض بإحداثيات هذه النقطة في المعادلة:

$P(2,-1)$

$y-y_0=3(x-x_0) \ \xrightarrow{x_0=2 \ ; \ y_0=-1} \ y-(-1)=3(x-2)$

وبالتالي فإن معادلة نقطة الميل للخط هي:

$\bm{y+1=3(x-2)}$

ضع في اعتبارك أنه بجانب معادلة نقطة الميل، هناك طرق أخرى للتعبير عن خط تحليليًا: المعادلة المتجهة، والمعادلات البارامترية، والمعادلة المستمرة، والمعادلة الضمنية (أو العامة) والمعادلة الصريحة للخط. إذا كنت مهتمًا أكثر، يمكنك التحقق من كل واحد منهم على موقعنا.

ماذا يعني ميل الخط؟

كما رأينا في تعريف معادلة نقطة الميل للخط، المعلمة

$m$

هو ميل الخط. لكن في الحقيقة… ماذا يعني ميل الخط؟ دعونا نرى ذلك من التمثيل الرسومي للخط:

يشير ميل الخط إلى انحداره. كما ترون من خط الرسم البياني،

$m$

يساوي 2 لأن الخط يرتفع بمقدار وحدتين رأسيتين مقابل وحدة أفقية واحدة.

من الواضح أنه إذا كان الميل موجبًا فإن الدالة تتزايد (تصعد)، ومن ناحية أخرى إذا كان الميل سالبًا فإن الدالة تتناقص (تتجه لأسفل).

كيفية حساب ميل الخط

علاوة على ذلك، هناك ثلاث طرق مختلفة لتحديد ميل الخط عدديًا:

نظرا لنقطتين مختلفتين على الخط
$P_1(x_1,y_1)$

و

$P_2(x_2,y_2),$

ميل الخط يساوي:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

نعم
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

هو متجه اتجاه الخط، وميله هو:

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

نعم
$\alpha$

هي الزاوية التي يشكلها الخط مع محور الإحداثي السيني (المحور X)، وميل الخط يعادل ظل الزاوية المذكورة:

$m = \text{tg}(\alpha )$

الموضع النسبي للخطوط

وأخيرًا، يُستخدم أيضًا ميل الخط لمعرفة العلاقة بين عدة خطوط. بما أن الخطين المتوازيين لهما نفس الميل، ومن ناحية أخرى، إذا كان ميل خط واحد هو المقلوب السلبي لميل خط آخر، فهذا يعني أن هذين الخطين متعامدان .

احسب معادلة نقطة الميل للخط الذي يمر بنقطتين

هناك مشكلة شائعة جدًا وهي تحديد معادلة نقطة الميل من نقطتين تنتميان إلى الخط. دعونا نرى كيف يتم حلها من خلال مثال:

أوجد معادلة نقطة الميل للخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$P_1(5,2) \qquad P_2(3,6)$

لإيجاد معادلة نقطة الميل للخط، علينا تحديد ميل الخط. لذلك نحسب ميل الخط باستخدام صيغة النقطتين:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{6-2}{3-5} = \cfrac{4}{-2}= -2$

وبالتالي، فإن معادلة نقطة الميل للخط ستكون كما يلي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=-2(x-x_0)$

لذلك، نحتاج فقط إلى التعويض بالإحداثيات الديكارتية لنقطة على الخط في المعادلة:

$P_1(5,2)$

$y-y_0=-2(x-x_0) \ \xrightarrow{x_0=5 \ ; \ y_0=2} \ y-2=-2(x-5)$

$\bm{y-2=-2(x-5)}$

ومن الجيد أيضًا أن نضع النقطة الأخرى من العبارة في معادلة الخط:

$P_1(3,6)$

$y-6=-2(x-3)$

أوجد معادلة نقطة الميل لخط من الرسم البياني

كما رأينا في الأقسام أعلاه، هناك عدة طرق للعثور على معادلة نقطة الميل للخط عدديًا. ومع ذلك، يمكن العثور عليها أيضًا بيانيًا. دعونا نرى كيف يتم ذلك من خلال مثال:

حدد معادلة نقطة الميل للخط الموضح في الرسم البياني التالي:

لتحديد معادلة نقطة الميل للخط المرسوم، علينا إيجاد ميله ونقطة على الخط.

وفي هذه الحالة يكون ميل الخط يساوي 3، لأن الخط يرتفع بمقدار 3 وحدات رأسية لكل وحدة أفقية.

$m = 3$

بعد ذلك نحتاج إلى نقطة على السطر. للقيام بذلك، يمكننا اختيار أي نقطة على الرسم البياني الذي يمر من خلالها الخط، على سبيل المثال النقطة (1،1).

$P(1,1)$

لذلك، يمكننا الآن إيجاد معادلة نقطة الميل للخط من خلال تطبيق صيغتها:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-1=3(x-1)$

حل مسائل معادلة النقطة والمنحدر

التمرين 1

اكتب معادلة النقطة والميل للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة

$P(1,4)$

ويكون منحدره

$m=-2.$

انظر الحل

صيغة معادلة نقطة الميل للخط هي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

في هذه الحالة، تخبرنا العبارة أن ميل الخط هو m=-2، وبالتالي فإن معادلة الخط ستكون كما يلي:

$y-y_0=-2(x-x_0)$

علاوة على ذلك، نعلم أيضًا من العبارة أن الخط المستقيم يمر بالنقطة

$P(1,4)$

، لذلك يكفي التعويض بإحداثيات النقطة في معادلة الخط:

$P(1,4)$

$\bm{y-4=-2(x-1)}$

تمرين 2

ما معادلة نقطة الميل للخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين؟

$P_1(1,6) \qquad P_2(4,0)$

انظر الحل

لإيجاد معادلة نقطة الميل للخط، علينا تحديد ميل الخط. لذلك نحسب ميل الخط بصيغته:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{0-6}{4-1} = \cfrac{-6}{3}= -2$

وبالتالي، فإن معادلة نقطة الميل للخط ستكون كما يلي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=-2(x-x_0)$

لذلك، نحتاج فقط إلى التعويض بإحداثيات نقطة على الخط في المعادلة:

$P_1(1,6)$

$\bm{y-6=-2(x-1)}$

وكان من الصحيح أيضًا وضع النقطة الأخرى من العبارة في المعادلة:

$y=-2(x-4)$

التمرين 3

أوجد معادلة نقطة الميل للخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$P_1(1,-2) \qquad P_2(2,3)$

انظر الحل

للعثور على معادلة نقطة الميل للخط، يجب عليك أولاً حساب ميله:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{3-(-2)}{2-1} = \cfrac{3+2}{1}=\cfrac{5}{1}= 5$

وبالتالي، فإن معادلة نقطة الميل للخط ستكون كما يلي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=5(x-x_0)$

لذلك، نحتاج فقط إلى التعويض بإحداثيات نقطة على الخط في المعادلة:

$P_1(1,-2)$

$y-(-2)=5(x-1)$

$\bm{y+2=5(x-1)}$

ومن الصحيح أيضًا وضع النقطة الأخرى في العبارة في معادلة الخط:

$y-3=5(x-2)$

التمرين 4

احسب معادلة نقطة الميل للخط الذي يشكل زاوية 45 درجة مع المحور X ويمر عبر أصل الإحداثيات.

انظر الحل

إذا كان الخط يشكل زاوية 45 درجة مع المحور OX فإن ميله سيكون:

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y-y_0=1(x-x_0)$

$y-y_0=x-x_0$

وبمجرد أن نعرف ميل الخط، يمكننا إيجاد معادلة نقطة وميل عن طريق التعويض بنقطة على الخط في المعادلة. بالإضافة إلى ذلك، تخبرنا العبارة أن الخط يمر عبر نقطة الأصل الإحداثي، مما يعني أنه يمر عبر النقطة (0،0). حتى الآن:

$P(0,0)$