مكعب ذو الحدين

ستجد هنا شرحًا لحل المنتج البارز للمكعب ذي الحدين (الصيغة)، إما (a+b) ³ أو (ab) ³ . بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدريبات التي تم حلها خطوة بخطوة من ذات الحدين إلى المكعب.

ما هو ذات الحدين مكعب؟

ذات الحدين المكعب هي كثيرة حدود مكونة من حدين مرفوعتين للقوة 3. وبناءً على ذلك، يمكن أن يكون التعبير الجبري ذو الحدين المكعب هو (a+b) ³ أو (ab) ³ اعتمادًا على ما إذا كنا نضيف أو نطرح أحاديات الحد الخاصة بها.

بالإضافة إلى ذلك، فإن ذات الحدين المكعب هي إحدى الهويات البارزة (أو المنتجات البارزة). بتعبير أدق، فهو يتوافق مع إحدى الهويات البارزة للمكعب (أو المكعب).

صيغة مكعب ذات الحدين

كما رأينا في تعريف المكعب ذي الحدين، هذا النوع من الهوية البارزة يمكن أن يتكون من الجمع أو الطرح. ولذلك، فإن الصيغة تختلف قليلا اعتمادا على ما إذا كانت ذات الحدين موجبة أو ذات حدين سالبة، وبالتالي، سنرى كل حالة على حدة.

مكعب من المبلغ

عندما يكون المجموع مكعبًا، يمكننا حسابه باستخدام صيغة مكعب المجموع:

بحيث يكون مكعب ذو الحدين (الجمع) يساوي مكعب الأول، زائد ثلاثي مربع الأول في الثاني، زائد ثلاثي الأول في مربع الثاني، زائد مكعب الثاني.

هناك طريقة أخرى لحساب مكعب ذات الحدين وهي ذات الحدين لنيوتن (أو نظرية ذات الحدين). نترك لكم الرابط التالي مع شرح هذه النظرية لأنه من المفيد جداً معرفة هذه الصيغة، فهي لا تصلح فقط لقوى ذات الحدين من الدرجة الثالثة، بل أيضاً للأسس الأعلى. لذا انقر على هذا الرابط لتكتشف وتتمكن من التدرب على حل تمارين نيوتن ذات الحدين .

مكعب الفرق

من ناحية أخرى، إذا كان لدينا فرق (أو طرح) مرفوع إلى المكعب بدلاً من المجموع، فإن صيغة ذات الحدين إلى المكعب تتغير في إشارة الحدود الزوجية:

ذات الحدين للفرق أو الطرح في صيغة المكعب

لذلك، مكعب ذو الحدين (الطرح) يساوي مكعب الأول، ناقص ثلاثة أضعاف مربع الأول على الثاني، بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف الأول إلى مربع الثاني، ناقص مكعب الثاني.

وبالتالي، فإن الطريقة الوحيدة التي تختلف بها صيغ مكعب المجموع ومكعب الفرق هي في علامات الحدين الثاني والرابع، حيث أنه في ذات الحدين يكون كل شيء موجبًا، وعلى العكس من ذلك، في ذات الحدين للطرح كلاهما سلبي.

لقد رأينا للتو ما هو مجموع ذات الحدين والفرق بين الحدين. حسنًا، يجب أن تعلم أن مجموع الفرق بين حدين هو أيضًا هوية رائعة، وفي الواقع، فهو جزء من الثلاثة الأوائل (الأكثر أهمية). يمكنك معرفة ما هي صيغة المجموع مضروبًا في الفرق وكيفية تطبيقها على الصفحة المرتبطة.

أمثلة على ذات الحدين مكعبة

الآن بعد أن عرفنا صيغة مكعب المجموع وصيغة مكعب الفرق، سنرى مثالاً لحل كل نوع من المكعبات ذات الحدين لإنهاء فهم المفهوم.

مثال على مكعب المبلغ

حل ذات الحدين للمكعب التالي بتطبيق الصيغة:

$(x+2)^3$

في هذه المسألة، لدينا ذات الحدين حداها موجبان. لذلك يجب علينا تطبيق صيغة المبلغ المكعب:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

نحن الآن بحاجة إلى العثور على قيمة المعلمات

$a$

$b$

من الصيغة. في هذه الحالة،

$a$

تتوافق مع المتغير

$x$

$b$

هو رقم 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

ولذلك، فإننا نحسب ذات الحدين مكعب عن طريق استبدال قيم

$a$

وبناءا على

$b$

في الصيغة:

مثال على مكعب الفرق

احسب ذات الحدين المكعبين (الفرق) التالي باستخدام الصيغة المقابلة لها:

$(3x-2)^3$

في هذا التمرين، لدينا زوج يحتوي على عنصر إيجابي وعنصر سلبي. لذلك يجب علينا استخدام صيغة الفرق المكعب:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

ولذلك فمن الضروري تحديد قيمة المجهول

$a$

$b$

من الصيغة. في هذه الحالة،

$a$

يمثل أحادي الحد 3x و

$b$

هو المصطلح المستقل ذو الحدين، أي 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

لاحظ أن المعلمة

$b$

ببساطة يساوي 2، بدون إشارة الرقم السالبة. من المهم أن تضع ذلك في الاعتبار لتطبيق الصيغة بشكل صحيح.

وأخيرًا، قمنا بحل مكعب ذي الحدين بوضع قيم

$a$

وبناءا على

$b$

في الصيغة:

إثبات صيغة المكعب ذات الحدين

بعد ذلك، سوف نوضح صيغة ذات الحدين المكعبة. على الرغم من أنه ليس من الضروري معرفة ذلك، إلا أنه من الجيد دائمًا فهم الجبر الكامن وراء أي صيغة.

من ذات الحدين المكعب الموجب:

$(a+b)^3$

يمكن تحليل التعبير أعلاه رياضيا إلى منتج العامل

$(a+b)$

بمربعها:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

وبالإضافة إلى ذلك، الزوج

$(a+b)$

مرفوعة إلى 2 فهي متطابقة رائعة، لذلك يمكننا حلها باستخدام صيغة مربع المجموع :

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

الآن نضرب القوسين باستخدام خاصية التوزيع:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

وأخيرًا، علينا فقط تجميع المصطلحات التي تبدو متشابهة:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

للتحقق من صيغة ذات الحدين المكعب:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

منطقيًا، لاستنتاج صيغة المكعب السالبة ذات الحدين، اتبع نفس الخطوات التي قمنا بها للتو ولكن بدءًا من الحد

$b$

علامة تغيرت.

من ناحية أخرى، يمكن أيضًا إثبات صيغة ذات الحدين المكعب باستخدام مثلث باسكال (أو تارتاليا) . وفي حال كنت لا تعرف ما هي هذه الخدعة الرياضية، نترك لك هذا الرابط حيث يتم شرحها خطوة بخطوة. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرا على رؤية جميع التطبيقات الموجودة فيه والتاريخ الخاص لهذا المثلث الجبرى المميز للغاية.

حل مسائل المكعب ذي الحدين

حتى تتمكن من التدرب على النظرية التي رأيناها للتو حول حساب ذات الحدين للقوة 3، قمنا بإعداد العديد من التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة حول ذات الحدين إلى المكعب.

لذا لا تنس أن تخبرنا برأيك في هذا الشرح! ويمكنك أيضًا أن تسألنا أي أسئلة تطرأ! 👍👍👍

التمرين 1

أوجد الثنائيات المكعبة التالية:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

انظر الحل

للعثور على جميع الهويات البارزة للمسألة، ما عليك سوى تطبيق الصيغة ذات الحدين على المكعب، اعتمادًا على ما إذا كان إضافة أو طرحًا:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

تمرين 2

حدد الثنائيات التالية لمكعب الكميتين من خلال تطبيق الصيغة المقابلة:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

انظر الحل

لحساب جميع المنتجات البارزة في التمرين، يجب عليك استخدام صيغة الجمع والطرح المكعب:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

تمتلك وحيدات الحد الأخيرة ذات الحدين المكعبين معاملات كسرية، لذا لحلها نحتاج إلى استخدام خصائص الكسور:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

ما هو ذات الحدين مكعب؟

صيغة مكعب ذات الحدين

مكعب من المبلغ

مكعب الفرق

أمثلة على ذات الحدين مكعبة

مثال على مكعب المبلغ

مثال على مكعب الفرق

إثبات صيغة المكعب ذات الحدين

حل مسائل المكعب ذي الحدين

التمرين 1

تمرين 2

اترك تعليقاً إلغاء الرد