مشتق من دالة لوغاريتمية

ستجد هنا كيفية حل مشتقة دالة لوغاريتمية في أي قاعدة (صيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستكون قادرًا على التدرب من خلال تمارين خطوة بخطوة على مشتقات الدوال اللوغاريتمية.

تختلف صيغة تقسيم الدالة اللوغاريتمية اعتمادًا على ما إذا كان اللوغاريتم طبيعيًا (مع الأساس e) أو قاعدة أخرى . لذلك، سنرى أولاً الصيغتين منفصلتين مع مثال لكل حالة، وبعد ذلك سنقوم بتلخيص القاعدتين.

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي أو الطبيعي

مشتق اللوغاريتم الطبيعي (أو اللوغاريتم الطبيعي) هو حاصل قسمة مشتقة وسيطة اللوغاريتم على دالة الوسيطة.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

منطقيًا، إذا كانت الدالة داخل اللوغاريتم هي دالة الهوية، فسيبقى 1 في بسط المشتقة:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

انظر إلى المثال التالي الذي تم فيه حل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ 3x:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم قاعدته هو الرقم e (رقم أويلر).

\ln(x)=\log_e(x)

مشتق من اللوغاريتم على أساس

مشتق اللوغاريتم لأي قاعدة يساوي 1 مقسومًا على منتج x مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لأساس اللوغاريتم الأصلي.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

فإذا طبقنا قاعدة السلسلة، فإن قاعدة المشتقة اللوغاريتمية هي:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

على سبيل المثال، مشتقة اللوغاريتم ذو الأساس 2 لـ x تربيع هي:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

صيغة مشتقة دالة لوغاريتمية

بالنظر إلى تعريف المشتقة اللوغاريتمية ومتغيريها المحتملين، إليك ملخص للصيغتين لتسهيل تذكرها.

مشتق من وظيفة لوغاريتمية

حل مسائل مشتقات الدوال اللوغاريتمية

التمرين 1

استنتج الدالة اللوغاريتمية التالية:

f(x)=\log(3x^2)

في هذه الحالة لا بد من حل مشتقة اللوغاريتم بالأساس العشري، لذا يجب علينا تطبيق الصيغة التالية:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

وبالتالي فإن مشتق اللوغاريتم في الأساس 10 هو:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

تذكر أنه إذا كان اللوغاريتم ليس له أساس، فهذا يعني أن أساسه هو 10.

تمرين 2

اشتق اللوغاريتم الطبيعي (أو الطبيعي) التالي:

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

الدالة في هذه المشكلة هي لوغاريتم طبيعي، لذا نحتاج إلى استخدام القاعدة التالية لاشتقاق الدالة اللوغاريتمية:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

وبالتالي فإن مشتق اللوغاريتم الطبيعي هو:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

التمرين 3

اشتق اللوغاريتم التالي:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

في هذا التمرين، نحتاج إلى استخلاص لوغاريتم للأساس 7، لذلك سنستخدم الصيغة التالية:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

ومشتقة اللوغاريتم هي:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

التمرين 4

أوجد مشتقة الدالة اللوغاريتمية التالية مع الكسر:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

لحل المشتقة اللوغاريتمية، يمكننا أولًا تبسيط الدالة من خلال تطبيق خصائص اللوغاريتمات:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

علينا الآن استخدام صيغة المشتقة اللوغاريتمية مرتين، لكن حساب كلا المشتقتين أسهل.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

وباختصار، مشتق الدالة هو:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

التمرين 5

احسب مشتقة الدالة اللوغاريتمية التالية ذات جذر واحد:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

أولًا، سنقوم بتبسيط الدالة باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

وبمجرد إزالة الجذر من الدالة، نستخدم قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

ولذلك، فإن مشتق الدالة اللوغاريتمية المركبة هو:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

Scroll to Top