▷ مشتق ثابت (أمثلة محلولة)

نوضح هنا قيمة مشتق الثابت (مع الأمثلة). نعلمك أيضًا كيفية حساب مشتقة الثابت مضروبًا في دالة، والثابت مقسومًا على دالة، والثابت مرفوعًا كدالة. وأخيرًا، يمكنك التدرب على حل التمارين حول مشتقات الثوابت.

ما هو مشتق ثابت

مشتقة الثابت تكون دائمًا صفرًا ، بغض النظر عن قيمة الثابت.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

لذلك، للعثور على مشتقة دالة ثابتة، ليست هناك حاجة لإجراء أي حسابات، فالمشتقة هي ببساطة صفر.

مشتقة الثابت هي صفر لأنالرسم البياني للدالة الثابتة ليس له ميل.

أمثلة على مشتقات الثوابت

بالنظر إلى تعريف مشتقة الدالة الثابتة، سنرى عدة أمثلة محلولة لفهم المفهوم بشكل كامل:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

كما ترون، فإن مشتق الثابت يعطي دائمًا 0. ولا يهم ما إذا كانت إشارة الثابت موجبة أو سالبة، أو ما إذا كانت قيمة الثابت كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا، فإن مشتقتها ستكون صفرًا.

إثبات مشتقة ثابت

بمجرد أن نرى مقدار مشتقة الثابت، سنوضح لماذا هذا النوع من المشتقات يساوي صفرًا.

اجعل f دالة ثابتة لأي قيمة:

$f(x)=k$

صيغة حساب مشتق الدالة عند نقطة ما هي:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ انظر: تعريف المشتق

لذلك إذا حللنا نهاية الدالة الثابتة:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

إذن مشتقة الدالة الثابتة هي 0 عند كل نقطة. لذلك، تم توضيح صيغة مشتق الثابت.

مشتق من ثابت بواسطة وظيفة

لقد قمنا للتو بتحليل مشتقة ثابت واحد، أي دالة بدون أي متغيرات. ولكن كما تعلم، يمكن دمج الوظائف باستخدام العمليات. لذلك سندرس أدناه مشتقات الثوابت مجتمعة مع أنواع أخرى من الدوال، على سبيل المثال مشتقة ثابت مضروبة في نوع آخر من الدوال.

مشتقة الثابت مضروبًا في الدالة يساوي الثابت مضروبًا في مشتقة الدالة.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

على سبيل المثال، مشتقة الدالة التربيعية التالية هي:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

ولذلك فإن مشتقة ضرب هذه الدالة في ثابت تعادل ضرب المشتقة المحسوبة في الخطوة السابقة في الثابت:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

مشتق من ثابت بين وظيفة

مشتقة ثابت بين دالة يساوي حاصل ضرب الثابت المعدل في مشتقة الدالة مقسومًا على الدالة المربعة.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

على سبيل المثال، مشتقة الثابت التالي مقسومة على دالة خطية هي:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

بما أن مشتقة 8x هي 8.

مشتق من ثابت مرفوع في الدالة

مشتقة ثابت مرفوع كدالة يساوي حاصل ضرب اللوغاريتم الطبيعي للثابت مضروبًا في الثابت مرفوعًا كدالة في مشتقة الدالة.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

على سبيل المثال، بما أن مشتقة الجيب هي جيب التمام، فإن تفريق ثابت كبير إلى جيب يعطي:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

تمارين محلولة على مشتقات الثوابت

حل مشتقات الثوابت التالية:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

انظر الحل

حتى التمرين F)، جميع الدوال عبارة عن قيم ثابتة بسيطة، وبالتالي فإن جميع مشتقاتها تعطي صفرًا.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

حتى لو كانت كسرًا أو جذرًا، إذا لم يكن للدالة متغيرات، فهذا يعني أنها دالة ثابتة، وبالتالي فإن مشتقتها تساوي صفرًا.

وفي المقابل، فإن التمارين الثلاثة التالية هي دوال عبارة عن عمليات للثوابت مع دوال أخرى. لذلك، لحساب مشتقاتها، نحتاج إلى تطبيق الصيغ المقابلة لها:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

مشتقة من ثابت