مشتق من الدالة الأسية

نشرح في هذه المقالة كيفية اشتقاق دالة أسية. ستجد صيغة المشتقة الأسية (مع الأساس a والقاعدة e) وتمارين محلولة لمشتقات الدوال الأسية.

تعتمد قاعدة مشتقة الدالة الأسية على أساس القوة ، لأنه اعتمادًا على ما إذا كان الأساس هو أي رقم (a) أو الرقم e، يتم اشتقاق الدالة بشكل مختلف. ولهذا السبب سننظر إلى كل حالة على حدة أدناه، ثم نلخص الصيغتين لفهم كيفية اشتقاق دالة أسية بشكل كامل.

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس أ

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس a يساوي حاصل ضرب الدالة واللوغاريتم الطبيعي لأساس الأس ومشتقة الأس.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

على سبيل المثال، مشتقة الدالة الأسية التالية هي:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس e

مشتق الدالة الأسية ذات الأساس e يعادل حاصل ضرب نفس الدالة بمشتقة الأس.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

على سبيل المثال، مشتقة العدد e مرفوعة إلى 4x هي:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

صيغة المشتقة الأسية

كما رأينا، مشتقة الدالة الأسية تعتمد على قاعدتها. والصيغتان المستخدمتان لاشتقاق الدوال الأسية هما:

مشتق أسي

المشتق الأسي من e إلى x

بمجرد أن رأينا ما هي صيغة المشتقة الأسية، سنقوم بتحليل حالة مشتق e في x، لأنها حالة غريبة.

مشتق الدالة e إلى x ينتج عنه دائمًا الدالة نفسها ، أي أنه بغض النظر عن عدد المرات التي نفرق فيها الدالة e x ، فسوف نحصل دائمًا على نفس الدالة.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

تعود خاصية الدالة e المرفوعة إلى x إلى حقيقة أن مشتق x هو 1. لذلك، عند الاشتقاق، نضرب دائمًا الدالة نفسها في 1، ونتيجة لذلك، نحصل دائمًا على الدالة d’origin.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

حل مسائل مشتقات الدوال الأسية

التمرين 1

استنتج الدالة الأسية التالية:

f(x)=3^x

تعتمد الدالة على رقم آخر غير e، لذلك نحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

وبالتالي فإن مشتق الدالة الأسية في الأساس 3 هو:

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

تمرين 2

احسب مشتقة الدالة الأسية التالية:

f(x)=7^{3x^2-4x}

تعتمد الدالة في هذا التمرين على رقم آخر غير e، لذلك يجب تطبيق الصيغة التالية:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

وبالتالي فإن مشتق الدالة هو:

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

التمرين 3

أوجد مشتقة الدالة الأسية التالية ذات الأساس e:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

الدالة في هذا التمرين لها الرقم e كأساس لها، لذا يمكننا استخدام الصيغة التالية:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

واشتقاق الدالة الأسية يعطي:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

لاحظ أنه لحل هذه المشتقة علينا استخدام قاعدة السلسلة.

التمرين 4

أوجد مشتقة الدالة الأسية التالية مع وجود جذر لها كأسس:

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ انظر: مشتقة دالة جذرية

على الرغم من وجود تعبير جذري في الأس، ما زلنا بحاجة إلى استخدام القاعدة لاشتقاق الدالة الأسية من الأساس a:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

وبالتالي فإن مشتق الدالة الأسية المركبة هو:

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

التمرين 5

اشتق الدالة الأسية التالية من القاعدة e بأسس كسرية:

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ انظر: مشتقة خارج قسمة الدوال

أساس القوة هو الرقم e، لذا سنستخدم القاعدة التالية لتقسيم الدالة:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

وبالتالي فإن مشتق الدالة الأسية هو:

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

Scroll to Top