المعادلة المستمرة للخط

ستجد في هذه الصفحة كل ما يتعلق بالمعادلة المستمرة للخط: ماذا تعني وكيف يتم حسابها من نقطتها ومتجهها وكيف يتم تحديدها بنقطتين فقط. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من الأمثلة ويمكنك أيضًا التدرب على حل التمارين والمسائل خطوة بخطوة.

ما هي المعادلة المستمرة للخط؟

تذكر أن التعريف الرياضي للخط هو مجموعة من النقاط المتتالية الممثلة في نفس الاتجاه بدون منحنيات أو زوايا.

إذن، معادلة الخط المستمر هي طريقة للتعبير عن أي خط رياضيًا. ولهذا يكفي معرفة النقطة التي تنتمي إلى الخط ومتجه اتجاهه.

كيف يتم حساب المعادلة المستمرة للخط؟

نعم

$\vv{\text{v}}$

هو متجه الاتجاه للخط و

$P$

النقطة التي تنتمي إلى اليمين:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

صيغة المعادلة المستمرة للخط هي:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
$P_1$

و

$P_2$

هي إحداثيات نقطة معروفة تشكل جزءًا من الخط.
$\text{v}_1$

و

$\text{v}_2$

هي مكونات متجه الاتجاه للخط.

هذه الصيغة مخصصة للمعادلة المستمرة للخط في المستوى، أي عند العمل مع نقاط ومتجهات إحداثيتين (في R2). لكن إذا كنا نقوم بحسابات في الفضاء (في R3)، فسيتعين علينا إضافة عنصر إضافي إلى معادلة الخط:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

من ناحية أخرى، ضع في اعتبارك أنه بصرف النظر عن المعادلة المستمرة، هناك طرق أخرى للتعبير عن خط تحليليًا: المعادلة المتجهة، والمعادلات البارامترية، والمعادلة الضمنية (أو العامة)، والمعادلة الصريحة، ومعادلة نقطة الميل ألين. يمكنك التحقق مما هو عليه على موقعنا.

في الواقع، يمكن الحصول على المعادلة المستمرة للخط من معادلاته البارامترية. انظر إلى صيغة المعادلات البارامترية على الخط :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

إذا قمنا بمسح الإعداد

$t$

من كل معادلة بارامترية نحصل على:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

وبمساواة المعادلتين الناتجتين نحصل على المعادلة المستمرة للخط:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

مثال لكيفية إيجاد المعادلة المستمرة للخط

دعونا نرى كيف يتم تحديد المعادلة المستمرة للخط باستخدام مثال:

اكتب المعادلة المستمرة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة
$P$

ولديه

$\vv{\text{v}}$

كمتجه توجيهي:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

للعثور على المعادلة المستمرة للخط، ما عليك سوى تطبيق صيغتها:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

كيفية العثور على المعادلة المستمرة للخط من نقطتين

إحدى المشاكل الشائعة في المعادلة المستمرة هي أنها تعطينا نقطتين تنتميان إلى الخط ومنهما نحتاج إلى حساب المعادلة المستمرة. دعونا نرى كيف يتم حلها عن طريق مثال:

أوجد المعادلة المستمرة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

كما رأينا في الأقسام أعلاه، لحساب المعادلة المستمرة لخط ما، نحتاج إلى معرفة متجه اتجاهه والنقطة الواقعة عليه. لدينا بالفعل نقطة على اليمين، لكننا نفتقد متجه اتجاهها. لذلك يجب علينا أولاً حساب متجه الاتجاه للخط ثم المعادلة المستمرة .

لتحديد متجه الاتجاه للخط، ما عليك سوى حساب المتجه المحدد بالنقطتين الواردتين في التعبير:

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

وبمجرد أن نعرف بالفعل متجه الاتجاه للخط، للعثور على المعادلة المستمرة للخط، نحتاج فقط إلى تطبيق الصيغة:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

في هذه الحالة أخذنا النقطة A لتحديد المعادلة المستمرة للخط المستقيم، ولكن من الصحيح أيضًا كتابتها مع النقطة الأخرى التي يقدمونها لنا في العبارة:

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

حل مسائل المعادلة المستمرة للخط

التمرين 1

أوجد المعادلة المستمرة للخط الذي يكون متجه اتجاهه

$\vv{\text{v}}$

ويمر عبر النقطة

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

انظر الحل

للعثور على المعادلة المستمرة للخط، ما عليك سوى تطبيق صيغتها:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

تمرين 2

حدد متجه الاتجاه ونقطة على السطر التالي:

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

انظر الحل

يتم التعبير عن السطر الموجود في العبارة على شكل معادلة متصلة صيغتها هي:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

بحيث تتوافق مكونات متجه الاتجاه للخط مع مقامات الكسور:

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

والإحداثيات الديكارتية لنقطة على الخط هي أعداد البسطين مع تغير إشارتهم :

$P(1,-4)$

التمرين 3

أوجد المعادلة المستمرة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

انظر الحل

لحساب المعادلة المستمرة لخط ما، علينا معرفة متجه اتجاهه وإحدى نقاطه. في هذه الحالة، لدينا بالفعل نقطة على الخط، لكننا نفتقد متجه اتجاهها. لذا، يجب علينا أولًا حساب متجه الاتجاه للخط ثم المعادلة المستمرة.

للعثور على متجه الاتجاه للخط، ما عليك سوى حساب المتجه المحدد بالنقطتين الواردتين في التعبير:

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

وبمجرد أن نعرف بالفعل متجه الاتجاه للخط، للعثور على معادلته المستمرة، فإننا ببساطة نطبق الصيغة:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

في هذه الحالة اخترنا النقطة (أ) لتحديد المعادلة المستمرة، لكن من الصحيح أيضًا كتابتها مع النقطة الأخرى التي يقدمونها لنا في العبارة:

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

التمرين 4

نظرا للنقطة التالية:

$P(0,3)$

حدد ما إذا كان ينتمي إلى الخط المحدد بالمعادلة المستمرة التالية أم لا:

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

انظر الحل

للتحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى الخط، يجب عليك التعويض بإحداثيات النقطة في معادلة الخط. إذا كانت النقطة تحقق المعادلة، فهذا يعني أنها تنتمي بالفعل إلى الخط، ومن ناحية أخرى، إذا كانت المعادلة غير مستوفاة، فهذا يعني أن النقطة ليست جزءًا من الخط.

لذلك، نعوض بإحداثيات النقطة في معادلة الخط المحدد:

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$