درجة كثيرة الحدود

في هذه الصفحة نشرح ما هي درجة كثيرة الحدود (الدرجة المطلقة والدرجة النسبية) وكيفية معرفة ما هي درجة كثيرة الحدود. ستتمكن أيضًا من رؤية عدة أمثلة لكيفية تحديد درجة كثيرة الحدود، بالإضافة إلى ذلك، ستجد كيفية تصنيف كثيرات الحدود وفقًا لدرجتها.

ما هي درجة كثير الحدود؟

تعريف درجة كثير الحدود هو كما يلي:

في الرياضيات، درجة كثيرة الحدود هي أكبر أس يُرفع إليه المتغير كثير الحدود.

على سبيل المثال، كثيرة الحدود التالية هي من الدرجة 5 لأن القيمة القصوى لأسس حدودها هي 5:

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

على الرغم من أنه يبدو مفهومًا بسيطًا جدًا، إلا أن معرفة كيفية تحديد درجة كثيرة الحدود أمر ضروري للتمكن من جمع وطرح كثيرات الحدود بشكل صحيح. اكتشف سبب أهميته في أمثلة جمع كثيرات الحدود وأمثلة طرح كثيرات الحدود ، حيث، بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من التدرب مع التمارين التي تم حلها على هذين النوعين من العمليات مع كثيرات الحدود.

أمثلة على درجات كثيرات الحدود

بمجرد أن نعرف كيفية تحديد درجة كثيرة الحدود، دعونا ننظر إلى أمثلة أخرى لفهم معناها:

مثال على كثير الحدود من الدرجة صفر:

$P(x) = 4$

مثال على كثير الحدود من الدرجة الأولى:

$P(x) = 3x+2$

مثال على متعدد الحدود من الدرجة الثانية:

$P(x) = x^2+7x-4$

مثال على متعدد الحدود من الدرجة الثالثة:

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

مثال على متعدد الحدود من الدرجة الرابعة:

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

كيف تعرف درجة كثيرة الحدود بمتغيرين أو أكثر؟

لقد رأينا للتو كيف يتم تحديد درجة كثيرة الحدود غير المتغيرة، أي بمتغير واحد. ولكن ما هي درجة كثيرة الحدود متعددة المتغيرات؟

في الجبر، هناك نوعان من درجات كثيرات الحدود عندما يكون لها أكثر من متغير:

الدرجة المطلقة : الدرجة المطلقة تقابل الحد الأقصى لدرجة أحاديات الحد التي تشكل كثيرة الحدود
الدرجة النسبية : الدرجة النسبية بالنسبة لمتغير معين تقابل أكبر أس للمتغير المذكور.

من الواضح أنه لتحديد الدرجة المطلقة لكثيرة الحدود، فأنت بحاجة إلى معرفة كيفية حساب درجة أحادية الحد التي تحتوي على متغيرين أو أكثر، لذلك إذا كنت لا تتذكر كيف تم ذلك، فنوصي بإلقاء نظرة على صفحتنا الخاصة بالأجزاء من أحادية الحد . ستجد في هذه الصفحة شرحًا لجميع أجزاء أحادية الحد، وبشكل أكثر تحديدًا، كيفية تحديد درجة أحادية الحد متعددة المتغيرات .

على سبيل المثال، سنجد الدرجات المطلقة والنسبية لكثيرة الحدود التالية بثلاثة متغيرات:

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

فيما يتعلق بالدرجة المطلقة لكثيرة الحدود، فإن أحادي الحد الأول هو من الدرجة 9، والحد الثاني من كثير الحدود هو من الدرجة 6، وأخيرا العنصر الثالث من كثير الحدود هو من الدرجة 8. وبالتالي، فإن الدرجة المطلقة لكثيرة الحدود هي المشكلة هي 9، لأنها أقصى درجة لأحاديات الحد.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

ومن ناحية أخرى، تشير الدرجة النسبية إلى كل متغير على حدة وتتكون من الحد الأقصى لأس المتغير المذكور. وبالتالي فإن الدرجة القصوى للمتغير x هي 5، والدرجة النسبية للمتغير y هي 6، وأخيراً الدرجة بالنسبة للحرف z هي 2.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

أنواع كثيرات الحدود حسب درجة أحاديات حدها

يمكن تصنيف بعض كثيرات الحدود المحددة وفقًا لدرجة مصطلحاتها:

كثيرة الحدود المرتبة : تكون كثيرة الحدود مرتبة إذا كانت أحادية الحد مكتوبة من أعلى درجة إلى أدنى درجة.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

تم ترتيب كثيرة الحدود السابقة نظرًا لأن أحاديات الحد الخاصة بها مرتبة حسب درجتها بترتيب تنازلي.

كثيرة الحدود الكاملة : هي كثيرة الحدود التي تحتوي على جميع حدود جميع الدرجات من أحادية الحد الأعلى درجة إلى الحد المستقل.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

منطقيًا، عدد الحدود في أي كثيرة حدود كاملة يساوي درجة كثيرة الحدود زائد 1.

كثيرة الحدود غير الكاملة : كثيرة الحدود التي يكون فيها حد بدرجة معينة مفقودًا بين أحادية الدرجة ذات الدرجة الأعلى والحد المستقل.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

كثيرة الحدود متجانسة : تكون كثيرة الحدود متجانسة عندما تكون جميع عناصرها لها نفس الدرجة. على سبيل المثال، كثيرة الحدود التالية متجانسة لأن جميع أحاديات حدها هي من الدرجة 7.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

كثيرة الحدود غير المتجانسة : تكون كثيرة الحدود غير متجانسة إذا كان أحد حدودها على الأقل ذو درجة مختلفة عن أي من الحدود الأخرى التي تتكون منها كثيرة الحدود.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$