ثلاثي الحدود

ستجد في هذه الصفحة شرحًا لما هو ثلاثي الحدود. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية الأنواع المختلفة من ثلاثيات الحدود الموجودة، بالإضافة إلى جميع الصيغ المتعلقة بثلاثيات الحدود.

ما هو ثلاثي الحدود؟

في الرياضيات، تعريف ثلاثي الحدود هو كما يلي:

ثلاثي الحدود هو متعدد الحدود يتكون من ثلاثة أحاديات فقط . بمعنى آخر، ثلاثي الحدود هو تعبير جبري يحتوي فقط على 3 حدود مختلفة مرتبطة بعلامة زائد (+) أو علامة ناقص (-).

كلمة ثلاثية تأتي من اللغة اليونانية وتتكون من عنصرين معجميين ( ثلاثي ونوموس )، والتي تعني ما يلي:

فرز : بادئة بمعنى 3.
نوموس : يعني جزء.

يمكننا بالتالي استنتاج معنى ثلاثي الحدود: متعدد الحدود بثلاثة أجزاء (أو ثلاثة أحاديات الحد).

من ناحية أخرى، يجب أن تعلم أنه في كثير من الأحيان يكون من المفيد جدًا تحليل قيمة ثلاثية الحدود. ولتحليل كثيرة الحدود هناك عدة إجراءات مثل طريقة الضرب FOIL أو قاعدة روفيني، ولكن عندما تكون ثلاثية الحدود يتم ذلك بسرعة أكبر عن طريق حل المعادلة. تعرف على هذه الطريقة في كيفية تحليل كثيرات الحدود من الدرجة 2 .

أمثلة على ثلاثيات الحدود

لإكمال فهم مفهوم ثلاثي الحدود، سنرى عدة أمثلة على هذا النوع من كثيرات الحدود:

مثال على ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية:

$x^2-5x+6$

مثال على ثلاثية الحدود من الدرجة الثالثة:

$x^3+4x^2+1$

مثال على ثلاثية الحدود من الدرجة الرابعة:

$-3x^4+x^2-8x$

الآن بعد أن عرفنا ما هو ثلاثي الحدود، سنلقي نظرة على الأنواع المختلفة الموجودة وكيفية حل العمليات على ثلاثيات الحدود بسهولة باستخدام الصيغ.

ثلاثية الحدود المربعة الكاملة

ثلاثية الحدود المربعة المثالية ، للإيجاز وتسمى أيضًا TCP ، هي ثلاثية الحدود التي يتم الحصول عليها عن طريق تربيع ذات الحدين، إما ذات الحدين بالإضافة أو ذات الحدين الطرح.

لذلك، فإن ثلاثية الحدود المربعة الكاملة تتكون من كثيرة الحدود بمربعين كاملين (جذرها التربيعي دقيق) وحد آخر هو المنتج المزدوج لأساسي هذين المربعين اللذين يمكن أن تكون إشارتهما موجبة أو سالبة.

من ناحية أخرى، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن مربع المجموع ومربع الفرق هما متطابقتان بارزتان (أو نواتج بارزة)، لذا فهما صيغتان تستخدمان على نطاق واسع في الرياضيات.

مثال:

$x^2+6x+9$

هذا المثال عبارة عن ثلاثية حدود مربعة كاملة لأنه في تعبيرها الجبري يوجد مربعان كاملان، لأن الجذور التربيعية لـ

$x^2$

ومن 9 صحيحة:.

$\sqrt{x^2}=x$

$\sqrt{9}=3$

علاوة على ذلك، الحد الأخير المتبقي من ثلاثية الحدود

$(6x)$

ويتم الحصول عليها بضرب أساسات المربعين السابقين معًا وفي 2:

$2\cdot x \cdot 3 = 6x$

لذا فإن كل الهوية البارزة في هذا التمرين ستكون:

$x^2+6x+9 =(x+3)^2$

إذا نظرت عن كثب، فستجد أن ما فعلناه للتو هو تحليل قيمة ثلاثية الحدود للمربع الكامل، لأننا نجحنا في تحليل التعبير الثلاثي الحدود. لذلك، ستساعدك هذه الصيغ في تحليل ثلاثية الحدود المربعة الكاملة، ولكن إذا كنت مهتمًا بتحليل أي نوع آخر من ثلاثية الحدود، فنوصي بمراجعة الرابط أعلاه في القسم الخاص بما هو ثلاثي الحدود (كيفية تحليل متعددات الحدود من الدرجة 2) .

تربيع ثلاثي الحدود

الصيغة المستخدمة لحساب قوة ثلاثية الحدود المربعة هي:

مربع ثلاثي الحدود يساوي مربع الحد الأول، زائد مربع الحد الثاني، زائد مربع الحد الثالث، زائد ضعف الحد الأول، زائد ضعف الحد الأول، زائد ضعف الحد الثاني. الثالث.

دعونا نرى مثالاً لحساب مربع ثلاثي الحدود:

مثال:

احسب الثلاثية التالية للقوة 2:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

صيغة مربع ثلاثي الحدود هي:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

لذا نحتاج أولاً إلى تحديد قيم المعلمات

$a,b$

$c$

من الصيغة. في هذا التمرين

$a$

شرق

$x^2,$

المعامل

$b$

تتوافق مع

$x,$

$c$

هو المصطلح المستقل 3:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

وعندما نعرف القيم بالفعل، ما عليك سوى استبدال هذه القيم في الصيغة وإجراء الحسابات:

ثلاثي الحدود مكعب

صيغة إيجاد قوة ثلاثية الحدود المكعبة هي كما يلي:

على سبيل المثال، إذا أردنا حساب ثلاثية الحدود التالية للقوة 3:

$\left(x^2+5x-3\right)^3$

يجب عليك استخدام صيغة مكعب ثلاثي الحدود:

$(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$

وبالتالي فإن حل المشكلة سيكون:

$\begin{aligned}\left(x^2+5x-3\right)^3 & = \left(x^2\right)^3+(5x)^3+(-3)^3+3\left(x^2+5x\right)\left(x^2+(-3)\right)\bigl(5x+\left(-3\right)\bigr) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(x^4+5x^3-3x^2-15x\right)\bigl(5x-3\bigr)\\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(5x^5+22x^4-30x^3-66x^2+45x\right) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+15x^5+66x^4-90x^3-198x^2+135x \\[2ex] & = \bm{x^6+15x^5+66x^4+35x^3-198x^2+135x-27}\end{aligned}$

ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية

في الجبر يمكن حل ثلاثية الحدود التربيعية في متغير واحد بصيغة المعادلة التربيعية الشهيرة وهي:

$ax^2+bx+c=0$

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

بعد ذلك، سوف نقوم بحل تمرين ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية كمثال:

$x^2-2x-3=0$

في الواقع، هو ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية. لذلك يجب علينا تطبيق صيغة المعادلة التربيعية:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

يجب علينا الآن تحديد قيمة كل مجهول:

$a$

هو معامل أعلى درجة أحادية الحد والتي تساوي في هذه الحالة 1،

$b$

يتوافق مع معامل الحد المتوسط وهو -2، وأخيرا،

$c$

يمثل المصطلح المستقل وهو -3.

$a=1 \qquad b=-2 \qquad c=-3$

لذلك، نطبق الصيغة عن طريق استبدال القيم الموجودة هناك:

$x=\cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 1}$

وأخيرًا، نحسب العمليات:

$\displaystyle x=\cfrac{+2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \cfrac{2\pm \sqrt{16}}{2} = \cfrac{2 \pm 4}{2} = \begin{cases} \cfrac{2+4}{2}=3 \\[4ex] \cfrac{2-4}{2} = -1 \end{cases}$

وبالتالي فإن حلول المعادلة التربيعية هي:

$x = 3 \qquad x=-1$

ما هو ثلاثي الحدود؟

أمثلة على ثلاثيات الحدود

ثلاثية الحدود المربعة الكاملة

مثال:

تربيع ثلاثي الحدود

مثال:

ثلاثي الحدود مكعب

ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية

اترك تعليقاً إلغاء الرد