ما هو التغاير؟

التباين هو مقياس إحصائي يساعدك على فهم كيفية تغير متغيرين معًا . تخيل أن لديك متغيرين، مثل درجة الحرارة واستهلاك الآيس كريم. إذا زاد استهلاك الآيس كريم مع زيادة درجة الحرارة، فإن المتغيرات يكون لها تباين إيجابي. على العكس من ذلك، عندما ترتفع درجة الحرارة، ينخفض استهلاك الآيس كريم، فإن التباين المشترك بينهما سلبي.

يخبرك التغاير ما إذا كانت المتغيرات تميل إلى التغيير في نفس الاتجاه (إيجابي) أو في اتجاهين متعاكسين (سلبي). إذا لم يكن هناك نمط واضح في كيفية تغيرهم معًا، فسيكون التغاير قريبًا من الصفر، مما يعني عدم وجود علاقة خطية قوية بين المتغيرات.

كيف يتم حساب التغاير؟

لحساب التباين بين متغيرين، يجب أن يكون لديك مجموعة بيانات تتضمن قيم كلا المتغيرين . ثم اتبع الخطوات التالية:

1. أوجد المتوسط (المتوسط) لكل متغير. أضف كل قيم كل متغير واقسم النتيجة على إجمالي عدد نقاط البيانات. سيعطيك هذا متوسط كل متغير.
2. اطرح متوسط كل متغير من كل قيمة مقابلة. تتكون هذه الخطوة من طرح متوسط المتغير X من كل قيمة لـ X والقيام بالشيء نفسه بالنسبة للمتغير Y.
3. اضرب النتائج من الخطوة السابقة. لكل قيمة مطروحًا في الخطوة السابقة، اضرب النتيجة المقابلة للمتغير المطروح الآخر.
4. أضف المنتجات من الخطوة السابقة. أضف جميع المنتجات التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة للحصول على القيمة الإجمالية.
5. اقسم القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة على إجمالي عدد البيانات. هذه القيمة هي التباين بين المتغيرين.

تذكر أن التغاير يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو قريبًا من الصفر. ويشير التباين الإيجابي إلى أن المتغيرات تميل إلى التحرك في نفس الاتجاه. ومن ناحية أخرى، يشير التباين السلبي إلى أن المتغيرات تميل إلى التغيير في اتجاهين متعاكسين. وأخيرًا، يشير التباين المشترك القريب من الصفر إلى عدم وجود نمط واضح في كيفية تغيرهما معًا.

دعونا نرى مثالا لفهم أفضل

لنتخيل أن لدينا متغيرين، “ساعات الدراسة” (X) و”درجة الامتحان” (Y)، وأن لدينا البيانات التالية لمجموعة مكونة من 5 طلاب:

ساعات الدراسة (X): 4، 6، 3، 7، 5.

نتيجة الاختبار (ص): 85، 90، 80، 95، 88.

الخطوة 1: حساب متوسط كل متغير

متوسط X: (4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5

متوسط ص: (85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86

الخطوة 2 : طرح متوسط كل متغير من كل قيمة مقابلة

X – متوسط X: -1، 1، -2، 2، 0

ص – متوسط ص: -1، 4، -6، 9، 2

الخطوة 3 : اضرب النتائج التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة

(-1) · (-1) = 1

1 4 = 4

(-2) · (-6) = 12

2 9 = 18

0 2 = 0

الخطوة 4 : أضف المنتجات التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة

1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35

الخطوة 5: قسمة القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة على إجمالي عدد البيانات

35 ÷ 5 = 7

وبذلك يكون التباين بين متغيري “ساعات الدراسة” و”درجة الامتحان” هو 7.

ما هو الفرق بين التباين والتباين؟

التباين هو مقياس يشير إلى التشتت الإحصائي أو التباين لمجموعة البيانات. يتم حسابه على أنه متوسط مربعات انحرافات القيم الفردية عن المتوسط. التباين العالي يعني أن البيانات منتشرة أو بعيدة عن المتوسط ، بينما التباين المنخفض يعني أن البيانات أقرب إلى المتوسط.

من ناحية أخرى، التباين هو مقياس يشير إلى كيفية تحرك متغيرين معًا . وهو مقياس للتباين المشترك بين متغيرين. إذا كان التباين موجبًا، فهذا يشير إلى أن المتغيرين يميلان إلى الزيادة أو النقصان معًا. إذا كان التباين سلبيا، فهذا يشير إلى أن أحد المتغيرات يميل إلى الزيادة عندما يتناقص الآخر. ويشير التباين القريب من الصفر إلى أن المتغيرات ليس لها علاقة خطية قوية.

باختصار، يقيس التباين تباين مجموعة البيانات نفسها، بينما يقيس التباين علاقة التباين المشتركة بين متغيرين.

ما مدى أهمية التغاير؟

يعد التباين مقياسًا مهمًا في الإحصائيات وتحليل البيانات لعدة أسباب. بشكل عام، يتم استخدامه لتقييم قوة واتجاه العلاقة بين متغيرين. تشير قيمة التباين القريبة من الصفر إلى وجود علاقة ضعيفة أو معدومة ، بينما تشير القيمة المرتفعة إلى وجود علاقة قوية بين المتغيرات.

ومن ناحية أخرى، تجدر الإشارة إلى أنها أداة مفيدة في نمذجة البيانات والتنبؤ بها . ويمكن استخدامه في تقنيات تحليل البيانات المتقدمة، مثل الانحدار الخطي وتحليل السلاسل الزمنية، لفهم كيف يمكن أن تؤثر التغييرات في متغير واحد على متغير آخر.

كما أنها ذات أهمية كبيرة في إدارة المخاطر المالية. فهو يجعل من الممكن تقييم كيفية تحرك أصلين ماليين معًا، وهو أمر أساسي في تنويع المحافظ الاستثمارية وفي تقييم مخاطر وعائد الأصول المختلفة.

ما هي الاستخدامات الرئيسية للتغاير؟

يعد التباين أداة مهمة في تحليل البيانات وله عدة استخدامات. أحد الاستخدامات الرئيسية للتباين المشترك هو في الإحصاء والاقتصاد القياسي . يتم استخدامه لقياس علاقة التباين المشتركة بين متغيرين، مما يمكن أن يساعدنا في فهم كيفية تغيرهما معًا.

في مجال التمويل، يتم استخدام التغاير لتقييم العلاقة بين عوائد الأصول المالية المختلفة ، مثل الأسهم أو السندات أو العقارات. فهو يساعد المستثمرين على فهم كيفية عمل الأصول معًا وكيف يمكن تنويع الاستثمارات لإدارة المخاطر.

في تحليل المخاطر وإدارة المحافظ، يتم استخدام التباين لحساب تنويع المخاطر ، أي كيفية ارتباط عوائد الأصول المختلفة. ويشير التباين المنخفض بين أصلين إلى أنهما أقل احتمالا للتحرك في نفس الاتجاه، الأمر الذي يمكن أن يكون مفيدا للحد من مخاطر المحفظة.

علاوة على ذلك، يُستخدم التغاير المشترك أيضًا في مجالات مثل العلوم البيئية وعلم الأحياء وعلم النفس والهندسة، حيث تتم دراسة العلاقات بين المتغيرات المختلفة لفهم سلوكها وإجراء التنبؤات.

من المهم ملاحظة أن التباين له بعض القيود، مثل عدم كونه مقياسًا موحدًا وعدم التقاط العلاقات غير الخطية بين المتغيرات. ومع ذلك، تظل أداة قيمة في تحليل البيانات لفهم كيفية تطور متغيرين معًا وعلاقة التباين المشتركة بينهما.

خصائص التغاير

دعونا نلقي نظرة على بعض أهم خصائص التغاير أدناه:

• يمكن أن يكون التباين بين متغيرين موجبًا ، مما يشير إلى أنهما يميلان إلى التحرك في نفس الاتجاه. من ناحية أخرى، إذا كان التغاير سلبيا، فهذا يعني أنها تميل إلى التحرك في اتجاهين متعاكسين . إذا كان التباين صفراً، فلا توجد علاقة خطية بين المتغيرات.
• على عكس الارتباط، لا يقتصر التباين على نطاق معين ولا يحتوي على وحدات قياس موحدة . وهذا يمكن أن يجعل من الصعب مقارنة التباينات من مقاييس أو وحدات مختلفة.
• يمكن أن يكون لوجود قيم متطرفة أو متطرفة في البيانات تأثير كبير على التباين. وهذا يمكن أن يؤدي إلى ارتفاع أو انخفاض التباين، حتى لو كانت العلاقة بين المتغيرات ليست قوية .
• التباين المشترك بين متغيرين متماثل ، مما يعني أن التباين المشترك لـ X فيما يتعلق بـ Y يساوي تباين Y بالنسبة إلى X. في الواقع، يعتمد التباين على التباين المشترك للمتغيرين.
• ومن المهم أن نلاحظ أن التباين لا يعني بالضرورة وجود علاقة سببية بين المتغيرات . إنه يظهر فقط اتجاه وحجم التباين المشترك بين المتغيرات، لكنه لا يؤسس علاقة سببية مباشرة.

مثال التغاير

كما نعلم بالفعل، كل شيء يصبح أكثر وضوحا عندما نستخدم الأمثلة. لذلك، سوف نقوم بتحليل مثال التغاير البسيط هذا لفهم أفضل.

فكر في متغيرين جديدين، A وB، بالبيانات التالية:

أ = (أ1، أ2، أ3) = (2، 5، 7)

ب = (ب1، ب2، ب3) = (6، 3، 1)

أولاً نقوم بحساب الوسط الحسابي لكل متغير من المتغيرات:

أ’ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4.67

ب’ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3.33

بعد أن قمنا بحساب الوسط الحسابي، ننتقل إلى حساب التباين:

Cov(A, B) = (2 – 4.67) · (6 – 3.33) + (5 – 4.67) · (3 – 3.33) + (7 – 4.67) · (1 – 3.33) ÷ 3 = -2.33

وفي هذه الحالة، تكون قيمة التغاير سالبة. يشير هذا إلى أن هناك علاقة سلبية بين المتغيرين A وB، أي أنه عندما يزيد أحد المتغيرين، يميل المتغير الآخر إلى الانخفاض. ومع ذلك، لفهم العلاقة بين A وB بشكل أفضل، من الضروري حساب الارتباط الخطي .

ومن المهم أيضًا أن نأخذ في الاعتبار أنه لا يمكن مقارنة تباينات المتغيرات المختلفة ، نظرًا لأن وحدة قياس التباين هي نفس وحدة قياس المتغيرات المعنية. لذلك، لا يمكنك مقارنة التباين بين المتغيرات مثل الدخل والعمر، على سبيل المثال، بسبب اختلاف وحدات القياس الخاصة بها.