تعريف المصفوفة وأنواعها

نوضح في هذه المقالة ما هي المصفوفات وكيف يتم تحديد أبعاد المصفوفة. بالإضافة إلى ذلك، سوف تشاهد نماذج المصفوفات. وأخيرًا، ستجد ما هي أهم أنواع المصفوفات.

ما هي المصفوفة؟

مصفوفة الأوامر

$m \times n$

هي مجموعة من الأرقام مرتبة في

$m$

صفوف و

$n$

الأعمدة:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

أمثلة المصفوفة

فيما يلي عدة أمثلة لمصفوفات مختلفة:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

أبعاد الطاولة

البعد للمصفوفة هو

$\bm{m \times n}$

. ذهب

$m$

يتوافق مع عدد صفوف المصفوفة، و

$n$

إلى عدد الأعمدة.

أمثلة:

مصفوفة البعد

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

مصفوفة البعد

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

أنواع المصفوفات

وفيما يلي نوضح خصائص أهم أنواع المصفوفات.

مصفوفة الصف

هذه المصفوفة تحتوي على صف واحد فقط:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

مصفوفة العمود

هذه المصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

مصفوفة منقولة

مصفوفة النقل أو النقل هي المصفوفة التي يتم الحصول عليها عن طريق تغيير الصفوف إلى أعمدة . ويتم تمثيله بوضع حرف “t” في أعلى يمين المصفوفة

$\left(A^t \right) .$

أمثلة:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

مصفوفة مربعة

المصفوفة المربعة هي مصفوفة تحتوي على نفس عدد الصفوف مثل الأعمدة.

$(m=n ) .$

على سبيل المثال، المصفوفة المربعة من الرتبة 3 ستكون:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

يتكون القطر الرئيسي للمصفوفة المربعة من العناصر التي تنتقل من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى:

يتوافق القطر الثانوي للمصفوفة المربعة مع العناصر التي تنتقل من الزاوية اليسرى السفلية إلى الزاوية اليمنى العليا:

نوصي بالاطلاع على جميع خصائص المصفوفات المربعة ، لأنها ربما تكون أكثر أنواع المصفوفات استخدامًا، وبالتالي فهي مهمة جدًا للجبر الخطي.

مصفوفة ثلاثية

المصفوفة المثلثية هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر الموجودة أعلى أو أسفل القطر الرئيسي 0.

تنقسم المصفوفات المثلثية إلى نوعين: المصفوفات المثلثية العليا التي تكون عناصرها الموجودة أسفل القطر الرئيسي صفرًا، والمصفوفات المثلثية السفلية التي تكون عناصرها الموجودة فوق القطر الرئيسي صفرًا. لفهم الاختلافات بينهما بشكل كامل، يمكنك الاطلاع علىأمثلة أخرى للمصفوفات المثلثية .

المصفوفة الثلاثية العليا:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

المصفوفة المثلثية السفلى:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

مصفوفة قطرية

المصفوفة القطرية هي مصفوفة مربعة جميع العناصر التي ليست على القطر الرئيسي هي أصفار. يمكنك رؤية خصائص وأمثلة أخرى للمصفوفات القطرية في هذا الرابط.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

على الرغم من أن هذه المصفوفات تبدو بسيطة للغاية لأنها تحتوي على الكثير من الأصفار، إلا أنها في الواقع مهمة جدًا للرياضيات. في الواقع، هناك إجراء كامل لقطر المصفوفة، لذا فإن المصفوفات القابلة للقطر لها أهمية كبيرة.

مصفوفة عددية

المصفوفة العددية هي مصفوفة قطرية تكون فيها جميع عناصر القطر الرئيسي متساوية. إذا أردت، يمكنك رؤية أمثلة أخرى للمصفوفات العددية هنا.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

مصفوفة الهوية أو الوحدة

مصفوفة الهوية هي مصفوفة قطرية تكون فيها جميع عناصر القطر الرئيسي تساوي 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

مثل أي مصفوفة قطرية، تبدو وكأنها نوع بسيط جدًا من المصفوفات. لكن لا تنخدع بمظهرها، فهي مصفوفة مستخدمة على نطاق واسع بسبب خصائصها، على سبيل المثال يتم استخدامها لعكس المصفوفة. نوصي بمراجعة خصائص مصفوفة الهوية لفهم فائدتها.

مصفوفة فارغة

المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تكون جميع عناصرها 0:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

كما ترون، هذه المصفوفة ليست معقدة على الإطلاق. ولكن على الرغم من أن الأمر قد لا يبدو كذلك، إلا أن له استخداماته. يمكنك رؤية تطبيقاتهم على صفحة خصائص المصفوفة الخالية .

مصفوفة متماثلة

المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة قطرها الرئيسي هو محور التماثل.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

نظرًالخصائص المصفوفات المتماثلة ، فإن نتيجة نقل مصفوفة متماثلة هي المصفوفة نفسها.

مصفوفة غير متماثلة

المصفوفة غير المتماثلة هي مصفوفة يتم فيها ملء القطر الرئيسي بالأصفار، علاوة على ذلك، فهو محور عدم التماثل.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

في الرابط التالي يمكنك رؤية جميع الخصائص والمزيد من الأمثلة على المصفوفات غير المتماثلة .

الآن بعد أن رأيت أنواع الجداول، ربما تتساءل… ما الهدف من كل هذا؟ حسنًا، أحد التطبيقات الرئيسية هي عمليات المصفوفات، وأهمها الضرب، والذي يمكنك أيضًا رؤية كيفية إجرائه على صفحة مصفوفة الضرب .

تعريف المصفوفة وأنواع المصفوفات