▷ كيف يتم حساب الزاوية بين متجهين؟ (صيغة) ✅

ستكتشف في هذه الصفحة كيفية حساب الزاوية بين متجهين. بالإضافة إلى ذلك، سترى أيضًا أمثلة ويمكنك التدرب عليها من خلال التمارين والمسائل التي تم حلها خطوة بخطوة.

صيغة الزاوية بين متجهين

إذا تذكرنا تعريف حاصل الضرب النقطي فيمكن حسابه باستخدام المعادلة التالية:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

ومن هذه المساواة يمكننا الحصول على الصيغة التي ستساعدنا في إيجاد الزاوية التي يشكلها متجهان بشكل مباشر:

جيب تمام الزاوية التي يشكلها متجهان يساوي حاصل الضرب النقطي بين المتجهين مقسومًا على حاصل ضرب معاملي المتجهين.

بمعنى آخر، صيغة تحديد الزاوية التي يشكلها متجهان هي كما يلي:

لذلك، للعثور على الزاوية التي شكلها متجهان، من الضروري أن تعرف كيفية حساب مقدار المتجه . ستجد في هذا الرابط الصيغة والأمثلة والتمارين التي تم حلها لوحدة المتجه، لذا إذا لم تكن قد أتقنت عملية المتجه هذه بعد، فنوصيك بإلقاء نظرة.

تعمل هذه الصيغة مع المستوى (في R2) والمساحة (في R3). وهذا يعني أنه يمكننا استخدامه بالتبادل مع المتجهات المكونة من عنصرين أو ثلاثة مكونات.

ومع ذلك، في بعض الأحيان ليس من الضروري تطبيق هذه الصيغة لأنه يمكن استنتاج الزاوية بين المتجهات:

الزاوية بين متجهين متعامدين (لهما نفس الاتجاه) هي 0 درجة.
الزاوية بين متجهين متعامدين (أو متعامدين) هي 90 درجة.

مثال على كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين

على سبيل المثال، سوف نحسب الزاوية التي يشكلها المتجهان التاليان:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

يجب علينا أولاً حساب وحدة كل متجه:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

نستخدم الآن الصيغة لحساب جيب تمام الزاوية بين المتجهين:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

وأخيرًا، يمكننا إيجاد الزاوية المقابلة عن طريق إجراء معكوس جيب التمام باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

وبالتالي يشكل المتجهان زاوية قدرها 81.95 درجة.

تمارين محلولة على الزوايا بين المتجهات

التمرين 1

احسب الزاوية المحصورة بين المتجهين التاليين:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

انظر الحل

أولًا، يجب علينا حساب معامل المتجهين:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

نستخدم الصيغة لحساب جيب تمام الزاوية التي تشكلها المتجهات:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

وأخيرًا، نجد الزاوية المقابلة عن طريق إجراء معكوس جيب التمام باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

تمرين 2

حدد الزاوية الموجودة بين المتجهين التاليين:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

انظر الحل

أولًا، نحتاج إلى إيجاد وحدات المتجهات:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

نستخدم الصيغة للحصول على جيب تمام الزاوية التي تحتوي عليها المتجهات:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

وأخيرًا، يمكننا إيجاد الزاوية المقابلة عن طريق إجراء معكوس جيب التمام باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

التمرين 3

احسب قيمة

$k$

بحيث تكون المتجهات التالية متعامدة:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

انظر الحل

يشكل متجهان متعامدان زاوية قدرها 90 درجة. حتى الآن:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

مقام الكسر يقسم الجانب الأيمن بالكامل من المعادلة، حتى نتمكن من ضربه في الطرف الآخر:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

الآن نحل المنتج النقطي:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

وأخيراً نكشف اللغز:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

التمرين 4

أوجد القيمة التي يجب أن تحتوي عليها الثوابت

$a$

$b$

بحيث تكون المتجهات التالية متعامدة، بالإضافة إلى أنها صحيحة

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

انظر الحل

سنستخدم أولًا شرط المقياس لإيجاد قيمة

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

نرفع طرفي المعادلة لإزالة الجذر التربيعي:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

ونكشف اللغز:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

بمجرد أن نعرف قيمة

$a$

، أوجد قيمة

$b$

من خلال تطبيق صيغة زاوية المتجهين، حيث أن العبارة تخبرنا أنهما يجب أن يكونا متعامدين، أو ما يعادلهما، يجب أن يكونا 90 درجة.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

مقام الكسر يقسم الجانب الأيمن بالكامل من المعادلة، حتى نتمكن من ضربه في الطرف الآخر:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

الآن دعونا نحاول حل المنتج النقطي:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

وأخيراً نكشف اللغز:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

التمرين 5

حساب الزوايا

$\alpha , \beta$

$\gamma$

والتي تشكل أضلاع المثلث التالي:

تمارين ومسائل تم حلها خطوة بخطوة للمنتج القياسي لمتجهين

انظر الحل

الرءوس التي يتكون منها المثلث هي النقاط التالية:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

لحساب الزوايا الداخلية للمثلث، يمكننا حساب متجهات كل جانب من أضلاعه ثم إيجاد الزاوية التي تشكلها باستخدام صيغة الضرب النقطي.

على سبيل المثال، للعثور على الزاوية

$\alpha$

نحسب متجهات جوانبه:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

ونوجد الزاوية التي يشكلها المتجهان باستخدام صيغة الضرب العددية:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

الآن نكرر نفس الإجراء لتحديد الزاوية

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

وأخيرا، للعثور على الزاوية الأخيرة يمكننا تكرار نفس الإجراء. ومع ذلك، يجب أن يكون مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذلك:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

صيغة الزاوية بين متجهين

مثال على كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين

تمارين محلولة على الزوايا بين المتجهات

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

اترك تعليقاً إلغاء الرد